Tretrinsreglen – de tre trin i beviserne

Differentialkvotienten \(f'(x_0)\) er hældningen for tangenten til grafen i punktet \((x_0,f(x_0))\). Den findes med tretrinsreglen som grænseværdien \(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\).

Jeg kan beviset

Det skal du kunne først: to-punkts-formlen for hældning \(a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
Hældningen for den rette linje gennem punkterne \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\).

Det skal du kunne først: sekant og tangent En sekant er en linje gennem to punkter på grafen.
Tangenten i et punkt er den linje, der rører grafen i punktet og har samme hældning som grafen der.

Det skal du kunne først: grænseværdi \(\lim_{h\to 0}\)
Den værdi, et udtryk nærmer sig, når \(h\) kommer tættere og tættere på 0 uden at blive 0.

1Beviset trin for trin

Sig selv det næste trin højt, før du trykker. Så træner du det, du skal til eksamen.

1

To punkter på grafen

\(P(x_0,f(x_0))\) og \(Q(x_0+h,f(x_0+h))\)
Vi går et lille stykke \(h\ne 0\) væk fra \(x_0\). Linjen gennem P og Q er en sekant.
2

Sekantens hældning

\(a=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0}\)\(=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)
To-punkts-formlen bruges med P og Q. Nævneren er netop \(h\).
3

Trin 1: Find \(\Delta y\)

\(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\)
\(\Delta y\) er tilvæksten i y, når x vokser med \(h\). Man sætter ind i forskriften og reducerer.
4

Trin 2: Differenskvotienten

\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)
Det er sekantens hældning. Man reducerer brøken, så \(h\) kan forkortes ud.
5

Trin 3: Lad \(h\) gå mod 0

\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{h}\)
Når \(h\) bliver mindre, glider Q hen mod P, og sekanten drejer over i tangenten. Sekantens hældning nærmer sig tangentens hældning.
6

Konklusion

\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)
Grænseværdien er tangentens hældning, dvs. differentialkvotienten. Alle beviserne i forløbet følger disse tre trin.

2Sæt trinene i rækkefølge

Trinene er blandet. Flyt dem op og ned, til beviset hænger sammen, og tryk på "Tjek".

\(P(x_0,f(x_0))\) og \(Q(x_0+h,f(x_0+h))\)
\(a=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0}\)\(=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)
\(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\)
\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)
\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{h}\)
\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)

3Eksamenstræner

Forklar beviset højt, som om censor sidder over for dig. Du har 5 minutter. Bagefter tjekker du dig selv.

5:00

4Det kan censor spørge om

Svar selv først, og åbn så svaret.

Hvorfor må man ikke bare sætte \(h=0\)?

Så falder P og Q sammen, og differenskvotienten bliver \(\frac{0}{0}\), som ikke er defineret. Derfor reducerer man først, så \(h\) kan forkortes ud, og lader bagefter \(h\) gå mod 0.

Hvad er forskellen på differenskvotient og differentialkvotient?

Differenskvotienten \(\frac{\Delta y}{h}\) er sekantens hældning mellem to punkter. Differentialkvotienten \(f'(x_0)\) er grænseværdien af den, dvs. tangentens hældning i ét punkt.

Brug tretrinsreglen på \(f(x)=x^2\) i \(x_0=3\).

Trin 1: \(\Delta y=(3+h)^2-9=6\cdot h+h^2\). Trin 2: \(\frac{\Delta y}{h}=6+h\). Trin 3: For \(h\to 0\) fås \(f'(3)=6\).

Må \(h\) være negativ?

Ja. Så ligger Q til venstre for P. Grænseværdien skal være den samme, uanset om Q kommer fra højre eller venstre.