Bevis for den afledte af f(x) = k

Hvis \(f(x)=k\), hvor k er en konstant, så er \(f'(x)=0\).

Jeg kan beviset

Det skal du kunne først: tretrinsreglen \(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{h}\)
Trin 1: find \(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\). Trin 2: find differenskvotienten \(\frac{\Delta y}{h}\) og reducér. Trin 3: lad \(h\) gå mod 0.

1Beviset trin for trin

Sig selv det næste trin højt, før du trykker. Så træner du det, du skal til eksamen.

1

Funktionsværdierne

\(f(x_0)=k\) og \(f(x_0+h)=k\)
Vi vælger et vilkårligt tal \(x_0\) og en tilvækst \(h\ne 0\). Funktionen giver k, uanset hvilket tal man sætter ind.
2

Trin 1: Find \(\Delta y\)

\(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\)\(=k-k\)\(=0\)
Funktionsværdierne indsættes. y-værdien ændrer sig ikke.
3

Trin 2: Differenskvotienten

\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{0}{h}\)\(=0\)
0 divideret med et tal, der ikke er 0, giver 0. Alle sekanter er vandrette.
4

Trin 3: Lad \(h\) gå mod 0

\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}0\)\(=0\)
Differenskvotienten er 0 for alle \(h\), så grænseværdien er også 0.
5

Konklusion

\(f'(x)=0\)
\(x_0\) var et vilkårligt tal, så resultatet gælder for alle x.

2Sæt trinene i rækkefølge

Trinene er blandet. Flyt dem op og ned, til beviset hænger sammen, og tryk på "Tjek".

\(f(x_0)=k\) og \(f(x_0+h)=k\)
\(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\)\(=k-k\)\(=0\)
\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{0}{h}\)\(=0\)
\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}0\)\(=0\)
\(f'(x)=0\)

3Eksamenstræner

Forklar beviset højt, som om censor sidder over for dig. Du har 5 minutter. Bagefter tjekker du dig selv.

5:00

4Det kan censor spørge om

Svar selv først, og åbn så svaret.

Hvad betyder resultatet for grafen?

Grafen for \(f(x)=k\) er en vandret linje. Den har hældningen 0 overalt, og tangenten i et punkt er linjen selv.

Hvorfor må man dividere med \(h\)?

\(h\) er en tilvækst, som ikke er 0. Vi lader den kun gå mod 0 i trin 3. Vi sætter den aldrig lig 0.

Hvad er \(f'(5)\), når \(f(x)=-3\)?

\(f'(5)=0\). En konstant funktion har differentialkvotienten 0 i alle punkter.