Bevis for den afledte af f(x) = ax² + bx + c

Hvis \(f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\), så er \(f'(x)=2\cdot a\cdot x+b\).

Jeg kan beviset

Det skal du kunne først: tretrinsreglen \(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{h}\)
Trin 1: find \(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\). Trin 2: find differenskvotienten \(\frac{\Delta y}{h}\) og reducér. Trin 3: lad \(h\) gå mod 0.

Det skal du kunne først: kvadratsætning 1 \((p+q)^2=p^2+q^2+2\cdot p\cdot q\)
Her med p og q, fordi a og b bruges i forskriften. Fx er \((x_0+h)^2=x_0^2+h^2+2\cdot x_0\cdot h\).

Det skal du kunne først: minus foran en parentes \(-(p+q+r)=-p-q-r\)
Når parentesen hæves, skifter alle led fortegn.

1Beviset trin for trin

Sig selv det næste trin højt, før du trykker. Så træner du det, du skal til eksamen.

1

Funktionsværdierne

\(f(x_0)=a\cdot x_0^2+b\cdot x_0+c\) og \(f(x_0+h)=a\cdot(x_0+h)^2+b\cdot(x_0+h)+c\)
Vi vælger et vilkårligt \(x_0\) og en tilvækst \(h\ne 0\) og sætter ind i forskriften.
2

Trin 1: Find \(\Delta y\)

\(\Delta y=a\cdot(x_0+h)^2+b\cdot(x_0+h)+c-\left(a\cdot x_0^2+b\cdot x_0+c\right)\)
\(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\). Der skal parentes om \(f(x_0)\), fordi hele funktionsværdien trækkes fra.
3

Gang ud og hæv parenteserne

\(\Delta y=a\cdot x_0^2+a\cdot h^2+2\cdot a\cdot x_0\cdot h+b\cdot x_0+b\cdot h+c-a\cdot x_0^2-b\cdot x_0-c\)
Kvadratsætning 1 bruges på \((x_0+h)^2\), a og b ganges ind, og minus foran den sidste parentes skifter fortegn på alle tre led.
4

Reducér

\(\Delta y=2\cdot a\cdot x_0\cdot h+a\cdot h^2+b\cdot h\)
\(a\cdot x_0^2\), \(b\cdot x_0\) og c går ud. Alle led, der er tilbage, indeholder \(h\).
5

Trin 2: Differenskvotienten

\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{2\cdot a\cdot x_0\cdot h+a\cdot h^2+b\cdot h}{h}\)\(=2\cdot a\cdot x_0+a\cdot h+b\)
Hvert led i tælleren divideres med \(h\). Det må vi, fordi \(h\ne 0\).
6

Trin 3: Lad \(h\) gå mod 0

\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\left(2\cdot a\cdot x_0+a\cdot h+b\right)\)\(=2\cdot a\cdot x_0+b\)
Kun leddet \(a\cdot h\) afhænger af \(h\), og det går mod 0.
7

Konklusion

\(f'(x)=2\cdot a\cdot x+b\)
\(x_0\) var vilkårlig, så resultatet gælder for alle x.

2Sæt trinene i rækkefølge

Trinene er blandet. Flyt dem op og ned, til beviset hænger sammen, og tryk på "Tjek".

\(f(x_0)=a\cdot x_0^2+b\cdot x_0+c\) og \(f(x_0+h)=a\cdot(x_0+h)^2+b\cdot(x_0+h)+c\)
\(\Delta y=a\cdot(x_0+h)^2+b\cdot(x_0+h)+c-\left(a\cdot x_0^2+b\cdot x_0+c\right)\)
\(\Delta y=a\cdot x_0^2+a\cdot h^2+2\cdot a\cdot x_0\cdot h+b\cdot x_0+b\cdot h+c-a\cdot x_0^2-b\cdot x_0-c\)
\(\Delta y=2\cdot a\cdot x_0\cdot h+a\cdot h^2+b\cdot h\)
\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{2\cdot a\cdot x_0\cdot h+a\cdot h^2+b\cdot h}{h}\)\(=2\cdot a\cdot x_0+a\cdot h+b\)
\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\left(2\cdot a\cdot x_0+a\cdot h+b\right)\)\(=2\cdot a\cdot x_0+b\)
\(f'(x)=2\cdot a\cdot x+b\)

3Eksamenstræner

Forklar beviset højt, som om censor sidder over for dig. Du har 5 minutter. Bagefter tjekker du dig selv.

5:00

4Det kan censor spørge om

Svar selv først, og åbn så svaret.

Hvorfor forsvinder c?

c går ud, når \(f(x_0)\) trækkes fra. c flytter kun parablen op eller ned, og det ændrer ikke hældningen.

Bestem \(f'(x)\) for \(f(x)=2\cdot x^2-3\cdot x+1\).

\(f'(x)=2\cdot 2\cdot x-3=4\cdot x-3\). Fx er \(f'(1)=1\).

Hvordan kan man bruge resultatet til at finde toppunktet?

I toppunktet er tangenten vandret, så \(f'(x)=0\). \(2\cdot a\cdot x+b=0\) giver \(x=\frac{-b}{2\cdot a}\), som er x-værdien i toppunktsformlen.

Hvordan passer resultatet med de tidligere beviser?

\(a\cdot x^2\) giver \(2\cdot a\cdot x\), \(b\cdot x\) giver b, og c giver 0. Differentialkvotienten er summen af de tre.