Bevis for regnereglen f(x) = k · g(x)

Hvis g er differentiabel, og k er en konstant, så er \(f(x)=k\cdot g(x)\) også differentiabel, og \(f'(x)=k\cdot g'(x)\).

Jeg kan beviset

Det skal du kunne først: tretrinsreglen \(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{h}\)
Trin 1: find \(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\). Trin 2: find differenskvotienten \(\frac{\Delta y}{h}\) og reducér. Trin 3: lad \(h\) gå mod 0.

Det skal du kunne først: differentialkvotienten for g \(g'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}\)
At g er differentiabel betyder, at denne grænseværdi findes.

Det skal du kunne først: at sætte uden for parentes \(k\cdot p-k\cdot q=k\cdot(p-q)\)

1Beviset trin for trin

Sig selv det næste trin højt, før du trykker. Så træner du det, du skal til eksamen.

1

Funktionsværdierne

\(f(x_0)=k\cdot g(x_0)\) og \(f(x_0+h)=k\cdot g(x_0+h)\)
Vi vælger et vilkårligt \(x_0\) og en tilvækst \(h\ne 0\) og sætter ind i forskriften.
2

Trin 1: Find \(\Delta y\)

\(\Delta y=k\cdot g(x_0+h)-k\cdot g(x_0)\)
\(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\).
3

Sæt k uden for parentes

\(\Delta y=k\cdot\left(g(x_0+h)-g(x_0)\right)\)
k er en fælles faktor i begge led.
4

Trin 2: Differenskvotienten

\(\frac{\Delta y}{h}=k\cdot\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}\)
Vi dividerer med \(h\ne 0\). Brøken er netop differenskvotienten for g.
5

Trin 3: Lad \(h\) gå mod 0

\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}k\cdot\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}\)\(=k\cdot g'(x_0)\)
k afhænger ikke af \(h\). Differenskvotienten for g går mod \(g'(x_0)\), fordi g er differentiabel.
6

Konklusion

\(f'(x)=k\cdot g'(x)\)
\(x_0\) var vilkårlig, så resultatet gælder for alle x.

2Sæt trinene i rækkefølge

Trinene er blandet. Flyt dem op og ned, til beviset hænger sammen, og tryk på "Tjek".

\(f(x_0)=k\cdot g(x_0)\) og \(f(x_0+h)=k\cdot g(x_0+h)\)
\(\Delta y=k\cdot g(x_0+h)-k\cdot g(x_0)\)
\(\Delta y=k\cdot\left(g(x_0+h)-g(x_0)\right)\)
\(\frac{\Delta y}{h}=k\cdot\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}\)
\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}k\cdot\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}\)\(=k\cdot g'(x_0)\)
\(f'(x)=k\cdot g'(x)\)

3Eksamenstræner

Forklar beviset højt, som om censor sidder over for dig. Du har 5 minutter. Bagefter tjekker du dig selv.

5:00

4Det kan censor spørge om

Svar selv først, og åbn så svaret.

Brug reglen på \(f(x)=5\cdot x^2\).

Med \(g(x)=x^2\) er \(g'(x)=2\cdot x\), så \(f'(x)=5\cdot 2\cdot x=10\cdot x\).

Hvorfor påvirker grænseværdien ikke k?

k er et fast tal, som ikke ændrer sig, når \(h\) går mod 0. Kun brøken afhænger af \(h\).

Hvad betyder reglen grafisk?

Grafen for \(k\cdot g(x)\) er grafen for g strakt med faktoren k i y-aksens retning. Så bliver alle hældninger også ganget med k.

Hvad nu hvis g ikke er differentiabel i \(x_0\)?

Så findes \(g'(x_0)\) ikke, og beviset holder ikke i trin 3.