Bevis for produktreglen k(x) = f(x) · g(x)

Hvis f og g er differentiable, og \(k(x)=f(x)\cdot g(x)\), så er \(k'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\).

Jeg kan beviset

Det skal du kunne først: tretrinsreglen for k \(k'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{h}\)
Trin 1: find \(\Delta y=k(x_0+h)-k(x_0)\). Trin 2: find \(\frac{\Delta y}{h}\). Trin 3: lad \(h\) gå mod 0. Differenskvotienterne for f og g går mod \(f'(x_0)\) og \(g'(x_0)\).

Det skal du kunne først: at lægge 0 til på en smart måde \(-f(x_0)\cdot g(x_0+h)+f(x_0)\cdot g(x_0+h)=0\)
Man trækker et led fra og lægger det samme led til igen. Udtrykkets værdi ændres ikke.

Det skal du kunne først: en differentiabel funktion er kontinuert \(g(x_0+h)\to g(x_0)\) for \(h\to 0\)
Grafen for en differentiabel funktion har ingen spring.

1Beviset trin for trin

Sig selv det næste trin højt, før du trykker. Så træner du det, du skal til eksamen.

1

Funktionsværdierne

\(k(x_0)=f(x_0)\cdot g(x_0)\) og \(k(x_0+h)=f(x_0+h)\cdot g(x_0+h)\)
Vi vælger et vilkårligt \(x_0\) og en tilvækst \(h\ne 0\).
2

Trin 1: Find \(\Delta y\)

\(\Delta y=f(x_0+h)\cdot g(x_0+h)-f(x_0)\cdot g(x_0)\)
\(\Delta y=k(x_0+h)-k(x_0)\). Udtrykket kan ikke umiddelbart deles op i en f-del og en g-del.
3

Læg 0 til

\(\Delta y=f(x_0+h)\cdot g(x_0+h)-f(x_0)\cdot g(x_0+h)+f(x_0)\cdot g(x_0+h)-f(x_0)\cdot g(x_0)\)
Vi trækker \(f(x_0)\cdot g(x_0+h)\) fra og lægger det til igen. Så har vi lagt 0 til, og \(\Delta y\) er uændret.
4

Sæt uden for parentes

\(\Delta y=\left(f(x_0+h)-f(x_0)\right)\cdot g(x_0+h)+f(x_0)\cdot\left(g(x_0+h)-g(x_0)\right)\)
De to første led har den fælles faktor \(g(x_0+h)\). De to sidste led har den fælles faktor \(f(x_0)\).
5

Trin 2: Differenskvotienten

\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\cdot g(x_0+h)+f(x_0)\cdot\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}\)
Begge led divideres med \(h\ne 0\). Nu står differenskvotienterne for f og g.
6

Trin 3: Lad \(h\) gå mod 0

\(k'(x_0)=f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)\)
Differenskvotienterne går mod \(f'(x_0)\) og \(g'(x_0)\). \(g(x_0+h)\) går mod \(g(x_0)\), fordi g er kontinuert. \(f(x_0)\) er et fast tal.
7

Konklusion

\(k'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)
\(x_0\) var vilkårlig, så produktreglen gælder for alle x.

2Sæt trinene i rækkefølge

Trinene er blandet. Flyt dem op og ned, til beviset hænger sammen, og tryk på "Tjek".

\(k(x_0)=f(x_0)\cdot g(x_0)\) og \(k(x_0+h)=f(x_0+h)\cdot g(x_0+h)\)
\(\Delta y=f(x_0+h)\cdot g(x_0+h)-f(x_0)\cdot g(x_0)\)
\(\Delta y=f(x_0+h)\cdot g(x_0+h)-f(x_0)\cdot g(x_0+h)+f(x_0)\cdot g(x_0+h)-f(x_0)\cdot g(x_0)\)
\(\Delta y=\left(f(x_0+h)-f(x_0)\right)\cdot g(x_0+h)+f(x_0)\cdot\left(g(x_0+h)-g(x_0)\right)\)
\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\cdot g(x_0+h)+f(x_0)\cdot\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}\)
\(k'(x_0)=f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)\)
\(k'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)

3Eksamenstræner

Forklar beviset højt, som om censor sidder over for dig. Du har 5 minutter. Bagefter tjekker du dig selv.

5:00

4Det kan censor spørge om

Svar selv først, og åbn så svaret.

Hvorfor lægger man netop \(-f(x_0)\cdot g(x_0+h)+f(x_0)\cdot g(x_0+h)\) til?

Det er 0, så \(\Delta y\) ændres ikke. Men nu kan man sætte fælles faktorer uden for parentes og få en forskel i f og en forskel i g. De giver de to differenskvotienter.

Hvorfor går \(g(x_0+h)\) mod \(g(x_0)\)?

g er differentiabel og derfor kontinuert. Grafen har ingen spring, så funktionsværdien nærmer sig \(g(x_0)\), når \(x_0+h\) nærmer sig \(x_0\).

Kontrollér reglen med \(k(x)=x\cdot x\).

Her er \(f(x)=g(x)=x\) og \(f'(x)=g'(x)=1\). Produktreglen giver \(1\cdot x+x\cdot 1=2\cdot x\), som passer med \(\left(x^2\right)'=2\cdot x\).

Er \(k'(x)=f'(x)\cdot g'(x)\)?

Nej. For \(k(x)=x\cdot x\) ville det give \(1\cdot 1=1\), men den rigtige differentialkvotient er \(2\cdot x\).