Bevis for den afledte af f(x) = ax

Hvis \(f(x)=a\cdot x\), så er \(f'(x)=a\).

Jeg kan beviset

Det skal du kunne først: tretrinsreglen \(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{h}\)
Trin 1: find \(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\). Trin 2: find differenskvotienten \(\frac{\Delta y}{h}\) og reducér. Trin 3: lad \(h\) gå mod 0.

Det skal du kunne først: at gange ind i en parentes \(a\cdot(p+q)=a\cdot p+a\cdot q\)

1Beviset trin for trin

Sig selv det næste trin højt, før du trykker. Så træner du det, du skal til eksamen.

1

Funktionsværdierne

\(f(x_0)=a\cdot x_0\) og \(f(x_0+h)=a\cdot(x_0+h)\)
Vi vælger et vilkårligt \(x_0\) og en tilvækst \(h\ne 0\) og sætter ind i forskriften.
2

Trin 1: Find \(\Delta y\)

\(\Delta y=a\cdot(x_0+h)-a\cdot x_0\)
\(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\).
3

Gang parentesen ud

\(\Delta y=a\cdot x_0+a\cdot h-a\cdot x_0\)\(=a\cdot h\)
a ganges ind i parentesen, og \(a\cdot x_0\) går ud.
4

Trin 2: Differenskvotienten

\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{a\cdot h}{h}\)\(=a\)
Vi forkorter med \(h\). Det må vi, fordi \(h\ne 0\).
5

Trin 3: Lad \(h\) gå mod 0

\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}a\)\(=a\)
a afhænger ikke af \(h\), så grænseværdien er a.
6

Konklusion

\(f'(x)=a\)
\(x_0\) var vilkårlig, så resultatet gælder for alle x.

2Sæt trinene i rækkefølge

Trinene er blandet. Flyt dem op og ned, til beviset hænger sammen, og tryk på "Tjek".

\(f(x_0)=a\cdot x_0\) og \(f(x_0+h)=a\cdot(x_0+h)\)
\(\Delta y=a\cdot(x_0+h)-a\cdot x_0\)
\(\Delta y=a\cdot x_0+a\cdot h-a\cdot x_0\)\(=a\cdot h\)
\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{a\cdot h}{h}\)\(=a\)
\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}a\)\(=a\)
\(f'(x)=a\)

3Eksamenstræner

Forklar beviset højt, som om censor sidder over for dig. Du har 5 minutter. Bagefter tjekker du dig selv.

5:00

4Det kan censor spørge om

Svar selv først, og åbn så svaret.

Hvad betyder resultatet for grafen?

Grafen er en ret linje gennem \((0,0)\) med hældningen a. Tangenten i et punkt er linjen selv, så hældningen er a overalt.

Hvad er \(f'(x)\), når \(f(x)=3\cdot x\)?

\(f'(x)=3\). Differenskvotienten er altid 3, fx er \(\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{6-3}{1}=3\).

Hvad sker der, hvis \(a=0\)?

Så er \(f(x)=0\), som er en konstant funktion, og \(f'(x)=0\). Det passer med beviset for \(f(x)=k\).