Bevis for den afledte af f(x) = x²

Hvis \(f(x)=x^2\), så er \(f'(x)=2\cdot x\).

Jeg kan beviset

Det skal du kunne først: tretrinsreglen \(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{h}\)
Trin 1: find \(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\). Trin 2: find differenskvotienten \(\frac{\Delta y}{h}\) og reducér. Trin 3: lad \(h\) gå mod 0.

Det skal du kunne først: kvadratsætning 1 \((a+b)^2=a^2+b^2+2\cdot a\cdot b\)
Fx er \((x_0+h)^2=x_0^2+h^2+2\cdot x_0\cdot h\).

1Beviset trin for trin

Sig selv det næste trin højt, før du trykker. Så træner du det, du skal til eksamen.

1

Funktionsværdierne

\(f(x_0)=x_0^2\) og \(f(x_0+h)=(x_0+h)^2\)
Vi vælger et vilkårligt \(x_0\) og en tilvækst \(h\ne 0\) og sætter ind i forskriften.
2

Trin 1: Find \(\Delta y\)

\(\Delta y=(x_0+h)^2-x_0^2\)
\(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\).
3

Brug kvadratsætningen

\(\Delta y=x_0^2+h^2+2\cdot x_0\cdot h-x_0^2\)\(=2\cdot x_0\cdot h+h^2\)
\((x_0+h)^2\) ganges ud med kvadratsætning 1, og \(x_0^2\) går ud. Nu indeholder begge led \(h\).
4

Trin 2: Differenskvotienten

\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{2\cdot x_0\cdot h+h^2}{h}\)\(=2\cdot x_0+h\)
Begge led i tælleren divideres med \(h\). Det må vi, fordi \(h\ne 0\).
5

Trin 3: Lad \(h\) gå mod 0

\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\left(2\cdot x_0+h\right)\)\(=2\cdot x_0\)
Leddet \(h\) går mod 0, mens \(2\cdot x_0\) ikke afhænger af \(h\).
6

Konklusion

\(f'(x)=2\cdot x\)
\(x_0\) var vilkårlig, så resultatet gælder for alle x.

2Sæt trinene i rækkefølge

Trinene er blandet. Flyt dem op og ned, til beviset hænger sammen, og tryk på "Tjek".

\(f(x_0)=x_0^2\) og \(f(x_0+h)=(x_0+h)^2\)
\(\Delta y=(x_0+h)^2-x_0^2\)
\(\Delta y=x_0^2+h^2+2\cdot x_0\cdot h-x_0^2\)\(=2\cdot x_0\cdot h+h^2\)
\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{2\cdot x_0\cdot h+h^2}{h}\)\(=2\cdot x_0+h\)
\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\left(2\cdot x_0+h\right)\)\(=2\cdot x_0\)
\(f'(x)=2\cdot x\)

3Eksamenstræner

Forklar beviset højt, som om censor sidder over for dig. Du har 5 minutter. Bagefter tjekker du dig selv.

5:00

4Det kan censor spørge om

Svar selv først, og åbn så svaret.

Kontrollér resultatet i \(x_0=3\).

\(f'(3)=2\cdot 3=6\). Med \(h=0{,}1\) er differenskvotienten \(\frac{3{,}1^2-3^2}{0{,}1}=\frac{0{,}61}{0{,}1}=6{,}1\), som er tæt på 6.

Hvorfor må man ikke sætte \(h=0\) med det samme?

Så står der \(\frac{0}{0}\), som ikke er defineret. Først når \(h\) er forkortet ud, kan man lade \(h\) gå mod 0.

Hvad fortæller \(f'(x)=2\cdot x\) om parablen?

For \(x\lt 0\) er hældningen negativ, så grafen er aftagende. For \(x\gt 0\) er den voksende. I \(x=0\) er hældningen 0. Der ligger toppunktet \((0,0)\), og tangenten er vandret.