Bevis for den afledte af f(x) = √x

Hvis \(f(x)=\sqrt{x}\), hvor \(x\gt 0\), så er \(f'(x)=\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}\).

Jeg kan beviset

Det skal du kunne først: tretrinsreglen \(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{h}\)
Trin 1: find \(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\). Trin 2: find differenskvotienten \(\frac{\Delta y}{h}\) og reducér. Trin 3: lad \(h\) gå mod 0.

Det skal du kunne først: kvadratsætning 3 \((a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2\)
Med kvadratrødder: \(\left(\sqrt{p}-\sqrt{q}\right)\cdot\left(\sqrt{p}+\sqrt{q}\right)=p-q\).

Det skal du kunne først: forlængelse af brøker \(\frac{p}{q}=\frac{p\cdot r}{q\cdot r}\), når \(r\ne 0\)
Brøkens værdi ændres ikke, når tæller og nævner ganges med det samme tal.

1Beviset trin for trin

Sig selv det næste trin højt, før du trykker. Så træner du det, du skal til eksamen.

1

Funktionsværdierne

\(f(x_0)=\sqrt{x_0}\) og \(f(x_0+h)=\sqrt{x_0+h}\)
\(x_0\gt 0\), og \(h\ne 0\) er så lille, at \(x_0+h\gt 0\).
2

Trin 1: Find \(\Delta y\)

\(\Delta y=\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}\)
\(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\). Kvadratrødderne kan ikke trækkes sammen.
3

Trin 2: Differenskvotienten

\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{h}\)
\(h\) kan ikke forkortes ud endnu. Lader vi \(h\) gå mod 0 nu, går både tæller og nævner mod 0.
4

Forlæng brøken

\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{\left(\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}\right)\cdot\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}{h\cdot\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}\)
Tæller og nævner ganges med \(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\), som er positiv. Brøkens værdi ændres ikke.
5

Kvadratsætning 3 i tælleren

\(\left(\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}\right)\cdot\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)=x_0+h-x_0\)\(=h\)
Kvadratsætning 3 fjerner kvadratrødderne i tælleren, fordi \(\left(\sqrt{p}\right)^2=p\).
6

Forkort med \(h\)

\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{h}{h\cdot\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}\)\(=\frac{1}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}\)
Det må vi, fordi \(h\ne 0\).
7

Trin 3: Lad \(h\) gå mod 0

\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}\)\(=\frac{1}{\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0}}\)\(=\frac{1}{2\cdot\sqrt{x_0}}\)
Når \(h\) går mod 0, går \(\sqrt{x_0+h}\) mod \(\sqrt{x_0}\). Nævneren bliver ikke 0, fordi \(x_0\gt 0\).
8

Konklusion

\(f'(x)=\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}\)
\(x_0\gt 0\) var vilkårlig, så resultatet gælder for alle \(x\gt 0\).

2Sæt trinene i rækkefølge

Trinene er blandet. Flyt dem op og ned, til beviset hænger sammen, og tryk på "Tjek".

\(f(x_0)=\sqrt{x_0}\) og \(f(x_0+h)=\sqrt{x_0+h}\)
\(\Delta y=\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}\)
\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{h}\)
\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{\left(\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}\right)\cdot\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}{h\cdot\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}\)
\(\left(\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}\right)\cdot\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)=x_0+h-x_0\)\(=h\)
\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{h}{h\cdot\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}\)\(=\frac{1}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}\)
\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}\)\(=\frac{1}{\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0}}\)\(=\frac{1}{2\cdot\sqrt{x_0}}\)
\(f'(x)=\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}\)

3Eksamenstræner

Forklar beviset højt, som om censor sidder over for dig. Du har 5 minutter. Bagefter tjekker du dig selv.

5:00

4Det kan censor spørge om

Svar selv først, og åbn så svaret.

Hvorfor forlænger man netop med \(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\)?

Så kan man bruge kvadratsætning 3, og kvadratrødderne forsvinder fra tælleren. Tilbage står \(h\), som kan forkortes ud.

Hvorfor skal \(x\gt 0\)?

\(\sqrt{x}\) er kun defineret for \(x\ge 0\). I \(x=0\) bliver nævneren \(2\cdot\sqrt{0}=0\), så \(f'(0)\) findes ikke. Grafen har en lodret tangent der.

Kontrollér resultatet i \(x_0=4\).

\(f'(4)=\frac{1}{2\cdot 2}=0{,}25\). Med \(h=0{,}01\) er differenskvotienten \(\frac{\sqrt{4{,}01}-2}{0{,}01}\approx 0{,}2498\), som er tæt på.

Kan resultatet skrives med potenser?

Ja. \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) giver \(f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}\). Det passer med reglen \(\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}\).