Bevis for den afledte af f(x) = ax + b

Hvis \(f(x)=a\cdot x+b\), så er \(f'(x)=a\).

Jeg kan beviset

Det skal du kunne først: tretrinsreglen \(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{h}\)
Trin 1: find \(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\). Trin 2: find differenskvotienten \(\frac{\Delta y}{h}\) og reducér. Trin 3: lad \(h\) gå mod 0.

Det skal du kunne først: parentesreglerne \(a\cdot(p+q)=a\cdot p+a\cdot q\) og \(-(p+q)=-p-q\)
Står der minus foran en parentes, skifter alle led i parentesen fortegn, når parentesen hæves.

Det skal du kunne først: regnehierarkiet \(a\cdot x_0+b=(a\cdot x_0)+b\)
Gange udregnes før plus og minus.

1Beviset trin for trin

Sig selv det næste trin højt, før du trykker. Så træner du det, du skal til eksamen.

1

Funktionsværdierne

\(f(x_0)=a\cdot x_0+b\) og \(f(x_0+h)=a\cdot(x_0+h)+b\)
Vi vælger et vilkårligt \(x_0\) og en tilvækst \(h\ne 0\). Der skal parentes om \(x_0+h\), fordi hele tallet ganges med a.
2

Trin 1: Find \(\Delta y\)

\(\Delta y=a\cdot(x_0+h)+b-(a\cdot x_0+b)\)
\(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\). Der skal parentes om \(f(x_0)\), fordi hele funktionsværdien trækkes fra.
3

Hæv parenteserne

\(\Delta y=a\cdot x_0+a\cdot h+b-a\cdot x_0-b\)
a ganges ind i den første parentes. Minus foran den anden parentes skifter fortegn på begge led.
4

Reducér

\(\Delta y=a\cdot h\)
\(a\cdot x_0\) og b går ud.
5

Trin 2: Differenskvotienten

\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{a\cdot h}{h}\)\(=a\)
Vi forkorter med \(h\). Det må vi, fordi \(h\ne 0\).
6

Trin 3: Lad \(h\) gå mod 0

\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}a\)\(=a\)
a afhænger ikke af \(h\), så grænseværdien er a.
7

Konklusion

\(f'(x)=a\)
\(x_0\) var vilkårlig, så resultatet gælder for alle x. Hældningen er a overalt.

2Sæt trinene i rækkefølge

Trinene er blandet. Flyt dem op og ned, til beviset hænger sammen, og tryk på "Tjek".

\(f(x_0)=a\cdot x_0+b\) og \(f(x_0+h)=a\cdot(x_0+h)+b\)
\(\Delta y=a\cdot(x_0+h)+b-(a\cdot x_0+b)\)
\(\Delta y=a\cdot x_0+a\cdot h+b-a\cdot x_0-b\)
\(\Delta y=a\cdot h\)
\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{a\cdot h}{h}\)\(=a\)
\(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}a\)\(=a\)
\(f'(x)=a\)

3Eksamenstræner

Forklar beviset højt, som om censor sidder over for dig. Du har 5 minutter. Bagefter tjekker du dig selv.

5:00

4Det kan censor spørge om

Svar selv først, og åbn så svaret.

Hvorfor forsvinder b?

b går ud, når man trækker \(f(x_0)\) fra \(f(x_0+h)\). Grafisk flytter b kun linjen op eller ned, og det ændrer ikke hældningen.

Hvad sker der, hvis man glemmer parentesen om \(f(x_0)\)?

Så står der \(+b\) i stedet for \(-b\), og man får \(\Delta y=a\cdot h+2\cdot b\), som er forkert.

Hvad er \(f'(x)\), når \(f(x)=2\cdot x+5\)?

\(f'(x)=2\), som er linjens hældning.