Bevis for tangentens ligning y = f′(x) · (x − x₀) + f(x₀)

Tangenten til grafen for f i punktet \((x_0,f(x_0))\) har ligningen \(y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)\).

Jeg kan beviset

Det skal du kunne først: tangentens hældning \(a=f'(x_0)\)
Tangenten er en ret linje. Dens hældning er differentialkvotienten i røringspunktet.

Det skal du kunne først: to-punkts-formlen for en ret linje \(a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
Hældningen kan findes ud fra to vilkårlige punkter på linjen.

1Beviset trin for trin

Sig selv det næste trin højt, før du trykker. Så træner du det, du skal til eksamen.

1

Røringspunktet

\(P(x_0,f(x_0))\)
Tangenten rører grafen i P, så P ligger både på grafen og på tangenten.
2

Tangentens hældning

\(a=f'(x_0)\)
Tangentens hældning er differentialkvotienten i \(x_0\).
3

Et vilkårligt punkt på tangenten

\(Q(x,y)\), hvor \(x\ne x_0\)
Q er et andet punkt på tangenten. Vi vil finde sammenhængen mellem x og y.
4

Brug to-punkts-formlen

\(f'(x_0)=\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}\)
Hældningen udregnes ud fra P og Q. Den er lig med tangentens hældning, fordi begge punkter ligger på tangenten.
5

Gang med \(x-x_0\)

\(f'(x_0)\cdot(x-x_0)=y-f(x_0)\)
Det må vi, fordi \(x-x_0\ne 0\). Ligningen passer også i P, hvor \(x=x_0\) og \(y=f(x_0)\), for så er begge sider 0.
6

Konklusion

\(y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)\)
\(f(x_0)\) lægges til på begge sider. Det er tangentens ligning.

2Sæt trinene i rækkefølge

Trinene er blandet. Flyt dem op og ned, til beviset hænger sammen, og tryk på "Tjek".

\(P(x_0,f(x_0))\)
\(a=f'(x_0)\)
\(Q(x,y)\), hvor \(x\ne x_0\)
\(f'(x_0)=\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}\)
\(f'(x_0)\cdot(x-x_0)=y-f(x_0)\)
\(y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)\)

3Eksamenstræner

Forklar beviset højt, som om censor sidder over for dig. Du har 5 minutter. Bagefter tjekker du dig selv.

5:00

4Det kan censor spørge om

Svar selv først, og åbn så svaret.

Bestem tangenten til \(f(x)=x^2\) i \(x_0=3\).

\(f(3)=9\) og \(f'(3)=2\cdot 3=6\), så \(y=6\cdot(x-3)+9=6\cdot x-9\).

Hvorfor står der \(f'(x_0)\) og ikke \(f'(x)\)?

Tangenten er en ret linje, så hældningen er et fast tal, nemlig hældningen i røringspunktet. \(f'(x)\) afhænger af x og ville ikke give en ret linje.

Kan man vise ligningen på en anden måde?

Ja. Skriv tangenten som \(y=a\cdot x+b\) med \(a=f'(x_0)\). P indsættes: \(f(x_0)=f'(x_0)\cdot x_0+b\), så \(b=f(x_0)-f'(x_0)\cdot x_0\). Indsat giver det samme ligning.

Hvad hvis \(f'(x_0)=0\)?

Så er tangenten vandret med ligningen \(y=f(x_0)\). Det sker fx i toppunktet for en parabel.