Bevis for den afledte af f(x) = ax²

1Beviset trin for trin

Sig selv det næste trin højt, før du trykker. Så træner du det, du skal til eksamen.

1. 1
   Funktionsværdierne

   \(f(x_0)=a\cdot x_0^2\) og \(f(x_0+h)=a\cdot(x_0+h)^2\)

   Vi vælger et vilkårligt \(x_0\) og en tilvækst \(h\ne 0\) og sætter ind i forskriften.
2. 2
   Trin 1: Find \(\Delta y\)

   \(\Delta y=a\cdot(x_0+h)^2-a\cdot x_0^2\)

   \(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\).
3. 3
   Brug kvadratsætningen

   \(\Delta y=a\cdot\left(x_0^2+h^2+2\cdot x_0\cdot h\right)-a\cdot x_0^2\)

   \((x_0+h)^2\) ganges ud med kvadratsætning 1. Parentesen bliver stående, fordi hele udtrykket ganges med a.
4. 4
   Gang a ind og reducér

   \(\Delta y=a\cdot x_0^2+a\cdot h^2+2\cdot a\cdot x_0\cdot h-a\cdot x_0^2\)\(=2\cdot a\cdot x_0\cdot h+a\cdot h^2\)

   a ganges ind i parentesen, og \(a\cdot x_0^2\) går ud. Nu indeholder begge led \(h\).
5. 5
   Trin 2: Differenskvotienten

   \(\frac{\Delta y}{h}=\frac{2\cdot a\cdot x_0\cdot h+a\cdot h^2}{h}\)\(=2\cdot a\cdot x_0+a\cdot h\)

   Begge led i tælleren divideres med \(h\). Det må vi, fordi \(h\ne 0\).
6. 6
   Trin 3: Lad \(h\) gå mod 0

   \(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\left(2\cdot a\cdot x_0+a\cdot h\right)\)\(=2\cdot a\cdot x_0\)

   a er et fast tal, så \(a\cdot h\) går mod 0. \(2\cdot a\cdot x_0\) afhænger ikke af \(h\).
7. 7
   Konklusion

   \(f'(x)=2\cdot a\cdot x\)

   \(x_0\) var vilkårlig, så resultatet gælder for alle x.

∎ Beviset er færdigt. Prøv nu at sætte trinene i rækkefølge uden at kigge.