Bevis for sum- og differensreglen k(x) = f(x) ± g(x)

Hvis f og g er differentiable, og \(k(x)=f(x)\pm g(x)\), så er \(k'(x)=f'(x)\pm g'(x)\).

Jeg kan beviset

Det skal du kunne først: tretrinsreglen for k \(k'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{h}\)
Trin 1: find \(\Delta y=k(x_0+h)-k(x_0)\). Trin 2: find differenskvotienten \(\frac{\Delta y}{h}\) og reducér. Trin 3: lad \(h\) gå mod 0.

Det skal du kunne først: differentialkvotienten for f og g \(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)
og tilsvarende for g. Grænseværdierne findes, fordi f og g er differentiable.

Det skal du kunne først: at dele en brøk op \(\frac{p+q}{r}=\frac{p}{r}+\frac{q}{r}\)

1Beviset trin for trin

Sig selv det næste trin højt, før du trykker. Så træner du det, du skal til eksamen.

1

Funktionsværdierne for summen

\(k(x_0)=f(x_0)+g(x_0)\) og \(k(x_0+h)=f(x_0+h)+g(x_0+h)\)
Vi viser først reglen for en sum. Vi vælger et vilkårligt \(x_0\) og en tilvækst \(h\ne 0\).
2

Trin 1: Find \(\Delta y\)

\(\Delta y=f(x_0+h)+g(x_0+h)-\left(f(x_0)+g(x_0)\right)\)
\(\Delta y=k(x_0+h)-k(x_0)\). Der skal parentes om \(k(x_0)\).
3

Saml f-leddene og g-leddene

\(\Delta y=\left(f(x_0+h)-f(x_0)\right)+\left(g(x_0+h)-g(x_0)\right)\)
Parentesen hæves, og leddene byttes rundt, så f-leddene står sammen og g-leddene står sammen.
4

Trin 2: Differenskvotienten

\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}\)
Vi dividerer med \(h\ne 0\) og deler brøken op. Det er differenskvotienterne for f og g.
5

Trin 3: Lad \(h\) gå mod 0

\(k'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)\)
Den første brøk går mod \(f'(x_0)\), og den anden går mod \(g'(x_0)\). Så går summen mod \(f'(x_0)+g'(x_0)\).
6

Differensen

\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}\)
For \(k(x)=f(x)-g(x)\) går beviset på samme måde. Minus foran \(\left(f(x_0)-g(x_0)\right)\) giver \(+g(x_0)\), så der kommer minus mellem de to brøker. Grænseværdien bliver \(f'(x_0)-g'(x_0)\).
7

Konklusion

\(k'(x)=f'(x)\pm g'(x)\)
\(x_0\) var vilkårlig, så reglen gælder for alle x, både for en sum og en differens.

2Sæt trinene i rækkefølge

Trinene er blandet. Flyt dem op og ned, til beviset hænger sammen, og tryk på "Tjek".

\(k(x_0)=f(x_0)+g(x_0)\) og \(k(x_0+h)=f(x_0+h)+g(x_0+h)\)
\(\Delta y=f(x_0+h)+g(x_0+h)-\left(f(x_0)+g(x_0)\right)\)
\(\Delta y=\left(f(x_0+h)-f(x_0)\right)+\left(g(x_0+h)-g(x_0)\right)\)
\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}\)
\(k'(x_0)=f'(x_0)+g'(x_0)\)
\(\frac{\Delta y}{h}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}\)
\(k'(x)=f'(x)\pm g'(x)\)

3Eksamenstræner

Forklar beviset højt, som om censor sidder over for dig. Du har 5 minutter. Bagefter tjekker du dig selv.

5:00

4Det kan censor spørge om

Svar selv først, og åbn så svaret.

Bestem \(k'(x)\), når \(k(x)=x^2+3\cdot x\).

\(k'(x)=2\cdot x+3\), fordi \(\left(x^2\right)'=2\cdot x\) og \((3\cdot x)'=3\).

Hvad kræver beviset af f og g?

At de begge er differentiable i \(x_0\). Ellers findes grænseværdierne i trin 3 ikke.

Gælder en tilsvarende regel for et produkt?

Nej. Fx har \(x\cdot x=x^2\) differentialkvotienten \(2\cdot x\), men produktet af differentialkvotienterne er kun \(1\cdot 1=1\). Et produkt kræver produktreglen.