Start gratis
Opret konto
Bevis · Differentialregning

Bevis for tangentens ligning

HF, STX og HHX · B-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Tangenten til grafen for f i punktet \((x_0,f(x_0))\) har ligningen \(y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)\). Formlen bruges i næsten alle opgaver med tangenter, og beviset er kort nok til at fremlægge på få minutter.

Idéen er, at tangenten er en ret linje gennem røringspunktet med hældningen \(f'(x_0)\). Sættes det ind i to-punkts-formlen for en ret linje, falder ligningen ud.

Sætningen

Tangenten til grafen for f i punktet \((x_0,f(x_0))\) har ligningen \(y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)\).

Det skal du kunne først

  • Tangentens hældning  \(a=f'(x_0)\)
    Tangenten er en ret linje. Dens hældning er differentialkvotienten i røringspunktet.
  • To-punkts-formlen for en ret linje  \(a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
    Hældningen kan findes ud fra to vilkårlige punkter på linjen.

Beviset trin for trin

  1. Røringspunktet

    \(\displaystyle P(x_0,f(x_0))\)

    Tangenten rører grafen i P, så P ligger både på grafen og på tangenten.

  2. Tangentens hældning

    \(\displaystyle a=f'(x_0)\)

    Tangentens hældning er differentialkvotienten i \(x_0\).

  3. Et vilkårligt punkt på tangenten

    \(Q(x,y)\), hvor \(x\ne x_0\)

    Q er et andet punkt på tangenten. Vi vil finde sammenhængen mellem x og y.

  4. Brug to-punkts-formlen

    \(\displaystyle f'(x_0)=\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}\)

    Hældningen udregnes ud fra P og Q. Den er lig med tangentens hældning, fordi begge punkter ligger på tangenten.

  5. Gang med \(x-x_0\)

    \(\displaystyle f'(x_0)\cdot(x-x_0)=y-f(x_0)\)

    Det må vi, fordi \(x-x_0\ne 0\). Ligningen passer også i P, hvor \(x=x_0\) og \(y=f(x_0)\), for så er begge sider 0.

  6. Konklusion

    \(\displaystyle y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)\)

    \(f(x_0)\) lægges til på begge sider. Det er tangentens ligning.

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Bestem tangenten til \(f(x)=x^2\) i \(x_0=3\).
\(f(3)=9\) og \(f'(3)=2\cdot 3=6\), så \(y=6\cdot(x-3)+9=6\cdot x-9\).
Hvorfor står der \(f'(x_0)\) og ikke \(f'(x)\)?
Tangenten er en ret linje, så hældningen er et fast tal, nemlig hældningen i røringspunktet. \(f'(x)\) afhænger af x og ville ikke give en ret linje.

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben