Start gratis
Opret konto
Bevis · Differentialregning

Bevis for produktreglen

HF, STX og HHX · B-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Produktreglen siger, at hvis \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\), så er \(h'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\). Beviset bruges både på B- og A-niveau.

Det svære trin er at lægge 0 til på en smart måde. Så kan man sætte fælles faktorer uden for parentes og få differenskvotienterne for f og g frem.

Sætningen

Hvis f og g er differentiable, og \(k(x)=f(x)\cdot g(x)\), så er \(k'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\).

Det skal du kunne først

  • Tretrinsreglen for k  \(k'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{h}\)
    Trin 1: find \(\Delta y=k(x_0+h)-k(x_0)\). Trin 2: find \(\frac{\Delta y}{h}\). Trin 3: lad \(h\) gå mod 0. Differenskvotienterne for f og g går mod \(f'(x_0)\) og \(g'(x_0)\).
  • At lægge 0 til på en smart måde  \(-f(x_0)\cdot g(x_0+h)+f(x_0)\cdot g(x_0+h)=0\)
    Man trækker et led fra og lægger det samme led til igen. Udtrykkets værdi ændres ikke.
  • En differentiabel funktion er kontinuert  \(g(x_0+h)\to g(x_0)\) for \(h\to 0\)
    Grafen for en differentiabel funktion har ingen spring.

Beviset trin for trin

  1. Funktionsværdierne

    \(k(x_0)=f(x_0)\cdot g(x_0)\) og \(k(x_0+h)=f(x_0+h)\cdot g(x_0+h)\)

    Vi vælger et vilkårligt \(x_0\) og en tilvækst \(h\ne 0\).

  2. Trin 1: Find \(\Delta y\)

    \(\displaystyle \Delta y=f(x_0+h)\cdot g(x_0+h)-f(x_0)\cdot g(x_0)\)

    \(\Delta y=k(x_0+h)-k(x_0)\). Udtrykket kan ikke umiddelbart deles op i en f-del og en g-del.

  3. Læg 0 til

    \(\displaystyle \Delta y=f(x_0+h)\cdot g(x_0+h)-f(x_0)\cdot g(x_0+h)+f(x_0)\cdot g(x_0+h)-f(x_0)\cdot g(x_0)\)

    Vi trækker \(f(x_0)\cdot g(x_0+h)\) fra og lægger det til igen. Så har vi lagt 0 til, og \(\Delta y\) er uændret.

  4. Sæt uden for parentes

    \(\displaystyle \Delta y=\left(f(x_0+h)-f(x_0)\right)\cdot g(x_0+h)+f(x_0)\cdot\left(g(x_0+h)-g(x_0)\right)\)

    De to første led har den fælles faktor \(g(x_0+h)\). De to sidste led har den fælles faktor \(f(x_0)\).

  5. Trin 2: Differenskvotienten

    \(\displaystyle \frac{\Delta y}{h}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\cdot g(x_0+h)+f(x_0)\cdot\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}\)

    Begge led divideres med \(h\ne 0\). Nu står differenskvotienterne for f og g.

  6. Trin 3: Lad \(h\) gå mod 0

    \(\displaystyle k'(x_0)=f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0)\)

    Differenskvotienterne går mod \(f'(x_0)\) og \(g'(x_0)\). \(g(x_0+h)\) går mod \(g(x_0)\), fordi g er kontinuert. \(f(x_0)\) er et fast tal.

  7. Konklusion

    \(\displaystyle k'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)

    \(x_0\) var vilkårlig, så produktreglen gælder for alle x.

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvorfor lægger man netop \(-f(x_0)\cdot g(x_0+h)+f(x_0)\cdot g(x_0+h)\) til?
Det er 0, så \(\Delta y\) ændres ikke. Men nu kan man sætte fælles faktorer uden for parentes og få en forskel i f og en forskel i g. De giver de to differenskvotienter.
Hvorfor går \(g(x_0+h)\) mod \(g(x_0)\)?
g er differentiabel og derfor kontinuert. Grafen har ingen spring, så funktionsværdien nærmer sig \(g(x_0)\), når \(x_0+h\) nærmer sig \(x_0\).

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben