Start gratis
Opret konto
Bevis · Analytisk plangeometri

Bevis for afstandsformlen

HF og STX · B-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Afstanden mellem to punkter \(A=(x_1,y_1)\) og \(B=(x_2,y_2)\) er \(|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\). Formlen er grundlaget for meget af den analytiske plangeometri – blandt andet cirklens ligning.

Beviset tegner en retvinklet trekant med AB som hypotenuse. Kateterne aflæses som forskelle i koordinaterne, og så giver Pythagoras’ sætning formlen.

Sætningen

Afstanden mellem punkterne \(A=(x_1,y_1)\) og \(B=(x_2,y_2)\) er \(|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).

Det skal du kunne først

  • Pythagoras' sætning  \(a^2+b^2=c^2\)
    Gælder i en retvinklet trekant med kateterne a og b og hypotenusen c.
  • Afstande i et koordinatsystem  \(|x_2-x_1|\) og \(|y_2-y_1|\)
    Vandret er afstanden forskellen på x-værdierne. Lodret er den forskellen på y-værdierne. Der tages numerisk værdi, fordi en afstand ikke kan være negativ.
  • Potens og rod  \((-3)^2=3^2=9\) og \(\sqrt{9}=3\)
    Et tal og dets modsatte tal har samme kvadrat. Roden tages af hele summen: \(\sqrt{9+16}\ne\sqrt{9}+\sqrt{16}\).

Beviset trin for trin

  1. Tegn punkterne

    \(A=(x_1,y_1)\) og \(B=(x_2,y_2)\)

    Vi vil finde længden af linjestykket AB.

  2. Indfør et hjælpepunkt

    \(\displaystyle C=(x_2,y_1)\)

    C har samme x-værdi som B og samme y-værdi som A. Så er AC vandret og BC lodret, og trekant ABC er retvinklet ved C.

  3. Den vandrette katete

    \(\displaystyle |AC|=|x_2-x_1|\)

    A og C har samme y-værdi, så afstanden er forskellen på x-værdierne.

  4. Den lodrette katete

    \(\displaystyle |BC|=|y_2-y_1|\)

    B og C har samme x-værdi, så afstanden er forskellen på y-værdierne.

  5. Brug Pythagoras

    \(\displaystyle |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2\)

    AB er hypotenusen i den retvinklede trekant ABC.

  6. Indsæt kateterne

    \(\displaystyle |AB|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\)

    Numerisk tegn kan fjernes, fordi et tal i anden er det samme som dets numeriske værdi i anden.

  7. Konklusion

    \(\displaystyle |AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)

    Vi tager kvadratroden på begge sider. En afstand er positiv, så det er den positive rod. Dermed er afstandsformlen bevist.

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Kontrollér formlen med \(A=(1,2)\) og \(B=(4,6)\).
\(|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\).
Gør det noget, hvilket punkt der hedder A?
Nej. \((x_1-x_2)^2=(x_2-x_1)^2\), fordi et tal og dets modsatte tal har samme kvadrat. Det samme gælder for y.

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben