Start gratis
Opret konto
Bevis · Andengradspolynomier

Bevis for løsningsformlen

HF, STX og HHX · B-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Løsningsformlen giver løsningerne til andengradsligningen \(a\cdot x^2+b\cdot x+c=0\): \(x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2\cdot a}\), hvor diskriminanten er \(d=b^2-4\cdot a\cdot c\). Beviset hører til andengradspolynomier på B-niveau.

Tricket er at gange med \(4\cdot a\) og lægge \(b^2\) til på begge sider. Så bliver venstresiden et kvadrat, og diskriminanten står alene på højre side.

Sætningen

Ligningen \(a\cdot x^2+b\cdot x+c=0\) med \(a\ne 0\) har løsningerne \(x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2\cdot a}\), hvor \(d=b^2-4\cdot a\cdot c\). Er \(d\lt 0\), er der ingen løsninger.

Det skal du kunne først

  • Skæring med x-aksen  \(f(x)=0\)
    Grafen for \(f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\) skærer x-aksen, hvor y = 0. Skæringerne findes derfor ved at løse \(a\cdot x^2+b\cdot x+c=0\).
  • Kvadratsætning 1  \((p+q)^2=p^2+q^2+2\cdot p\cdot q\)
    Fx er \((2\cdot a\cdot x+b)^2=4\cdot a^2\cdot x^2+b^2+4\cdot a\cdot b\cdot x\).
  • Ligningsreglerne og kvadratrødder  \(u^2=d\) har løsningerne \(u=\pm\sqrt{d}\), når \(d\ge 0\)
    Man må gange med det samme tal (ikke 0) og lægge det samme til på begge sider. Man kan ikke tage kvadratroden af et negativt tal.

Beviset trin for trin

  1. Udgangspunkt

    \(a\cdot x^2+b\cdot x+c=0\), hvor \(a\ne 0\)

    Vi vil finde de x, hvor grafen skærer x-aksen.

  2. Gang med \(4\cdot a\)

    \(\displaystyle 4\cdot a^2\cdot x^2+4\cdot a\cdot b\cdot x+4\cdot a\cdot c=0\)

    Det må man, fordi \(a\ne 0\), så \(4\cdot a\ne 0\). Nu er første led \((2\cdot a\cdot x)^2\).

  3. Genskab diskriminanten

    \(\displaystyle 4\cdot a^2\cdot x^2+4\cdot a\cdot b\cdot x+b^2=b^2-4\cdot a\cdot c\)

    Vi trækker \(4\cdot a\cdot c\) fra og lægger \(b^2\) til på begge sider. Så står diskriminanten d på højre side.

  4. Brug kvadratsætning 1

    \(\displaystyle (2\cdot a\cdot x+b)^2=d\)

    Venstresiden er \((2\cdot a\cdot x)^2+b^2+2\cdot 2\cdot a\cdot x\cdot b\), altså kvadratet på \(2\cdot a\cdot x+b\). Højresiden er \(d=b^2-4\cdot a\cdot c\).

  5. Hvis \(d\lt 0\)

    \(\displaystyle (2\cdot a\cdot x+b)^2\ge 0\gt d\)

    Et kvadrat kan aldrig være negativt, og man kan ikke tage kvadratroden af et negativt tal. Så er der ingen løsninger, og grafen skærer ikke x-aksen.

  6. Tag kvadratroden

    \(\displaystyle 2\cdot a\cdot x+b=\pm\sqrt{d}\)

    Når \(d\ge 0\), har \(u^2=d\) to løsninger: \(u=\sqrt{d}\) og \(u=-\sqrt{d}\).

  7. Træk b fra

    \(\displaystyle 2\cdot a\cdot x=-b\pm\sqrt{d}\)

    b trækkes fra på begge sider.

  8. Konklusion

    \(\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2\cdot a}\)

    Vi dividerer med \(2\cdot a\), som ikke er 0. Er \(d\gt 0\), er der to løsninger. Er \(d=0\), giver plus og minus det samme, så der er én løsning.

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvorfor ganger man netop med \(4\cdot a\)?
Så bliver første led \((2\cdot a\cdot x)^2\). Når man så lægger \(b^2\) til, passer venstresiden med kvadratsætning 1, og diskriminanten står på højre side.
Hvorfor skal \(a\ne 0\)?
Ellers er det ikke en andengradsligning, og man må ikke dividere med \(2\cdot a=0\). For a = 0 er ligningen \(b\cdot x+c=0\) af første grad.

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben