Start gratis
Opret konto
Bevis · Analytisk plangeometri

Bevis for cirklens ligning

HF og STX · B-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

En cirkel med centrum \(C=(a,b)\) og radius r har ligningen \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Ligningen beskriver præcis de punkter, der ligger i afstanden r fra centrum.

Beviset tager et vilkårligt punkt P på cirklen, tegner en retvinklet trekant med CP som hypotenuse og bruger Pythagoras’ sætning – præcis som i beviset for afstandsformlen.

Sætningen

En cirkel med centrum \(C=(a,b)\) og radius r har ligningen \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

Det skal du kunne først

  • En cirkel er bestemt af centrum og radius  \(|CP|=r\)
    Cirklen består af alle punkter P, der har afstanden r til centrum C.
  • Pythagoras og retvinklede trekanter  \(\text{hypotenuse}^2=\text{katete}^2+\text{katete}^2\)
    Fx er \(3^2+4^2=5^2\).

Beviset trin for trin

  1. Hvad skal vises

    \(P=(x,y)\) ligger på cirklen, netop når \(|CP|=r\)

    Det er definitionen på en cirkel. Vi skal oversætte \(|CP|=r\) til en ligning i x og y.

  2. Indfør et hjælpepunkt

    \(\displaystyle D=(x,b)\)

    D har samme x-værdi som P og samme y-værdi som C. Så er CD vandret og PD lodret, og trekant CDP er retvinklet ved D.

  3. Find kateterne

    \(|CD|=|x-a|\) og \(|PD|=|y-b|\)

    Den vandrette katete er forskellen på x-værdierne. Den lodrette katete er forskellen på y-værdierne.

  4. Brug Pythagoras

    \(\displaystyle |CP|^2=(x-a)^2+(y-b)^2\)

    CP er hypotenusen. Numerisk tegn kan fjernes, fordi et tal i anden er det samme som dets numeriske værdi i anden.

  5. Brug at \(|CP|=r\)

    \(\displaystyle r^2=(x-a)^2+(y-b)^2\)

    \(|CP|=r\) gælder, netop når \(|CP|^2=r^2\), fordi hverken \(|CP|\) eller r er negative.

  6. Konklusion

    \(\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

    Ligningen er opfyldt af netop de punkter, der ligger på cirklen. Dermed er det cirklens ligning.

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvad er ligningen for enhedscirklen?
Centrum er \((0,0)\) og radius er 1, så ligningen er \(x^2+y^2=1\).
Bestem ligningen for cirklen med centrum \((2,-1)\) og radius 3. Ligger \((5,-1)\) på cirklen?
Ligningen er \((x-2)^2+(y+1)^2=9\). Da \((5-2)^2+(-1+1)^2=9\), ligger punktet på cirklen.

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben