Bevis for den afledte af x² med tretrinsreglen
HF, STX og HHX · B-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah
Differentialkvotienten af \(f(x)=x^2\) er \(f'(x)=2\cdot x\). Beviset er det klassiske eksempel på tretrinsreglen og bliver ofte trukket til den mundtlige eksamen på B-niveau.
Tretrinsreglen: Find tilvæksten \(\Delta y\), divider med \(\Delta x\), og lad \(\Delta x\) gå mod 0. Kvadratsætningen gør det muligt at forkorte undervejs.
Sætningen
Hvis \(f(x)=x^2\), så er \(f'(x)=2\cdot x\).
Det skal du kunne først
- Tretrinsreglen \(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{h}\)
Trin 1: find \(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\). Trin 2: find differenskvotienten \(\frac{\Delta y}{h}\) og reducér. Trin 3: lad \(h\) gå mod 0. - Kvadratsætning 1 \((a+b)^2=a^2+b^2+2\cdot a\cdot b\)
Fx er \((x_0+h)^2=x_0^2+h^2+2\cdot x_0\cdot h\).
Beviset trin for trin
-
Funktionsværdierne
\(f(x_0)=x_0^2\) og \(f(x_0+h)=(x_0+h)^2\)Vi vælger et vilkårligt \(x_0\) og en tilvækst \(h\ne 0\) og sætter ind i forskriften.
-
Trin 1: Find \(\Delta y\)
\(\displaystyle \Delta y=(x_0+h)^2-x_0^2\)\(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\).
-
Brug kvadratsætningen
\(\displaystyle \Delta y=x_0^2+h^2+2\cdot x_0\cdot h-x_0^2\)\(\displaystyle =2\cdot x_0\cdot h+h^2\)\((x_0+h)^2\) ganges ud med kvadratsætning 1, og \(x_0^2\) går ud. Nu indeholder begge led \(h\).
-
Trin 2: Differenskvotienten
\(\displaystyle \frac{\Delta y}{h}=\frac{2\cdot x_0\cdot h+h^2}{h}\)\(\displaystyle =2\cdot x_0+h\)Begge led i tælleren divideres med \(h\). Det må vi, fordi \(h\ne 0\).
-
Trin 3: Lad \(h\) gå mod 0
\(\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\left(2\cdot x_0+h\right)\)\(\displaystyle =2\cdot x_0\)Leddet \(h\) går mod 0, mens \(2\cdot x_0\) ikke afhænger af \(h\).
-
Konklusion
\(\displaystyle f'(x)=2\cdot x\)\(x_0\) var vilkårlig, så resultatet gælder for alle x.
∎ Dermed er sætningen bevist.
Det kan censor spørge om
Kontrollér resultatet i \(x_0=3\).
Hvorfor må man ikke sætte \(h=0\) med det samme?
Der er 3 censorspørgsmål til beviset i kurset.