Start gratis
Opret konto
Bevis · Andengradspolynomier

Bevis for toppunktsformlen

HF, STX og HHX · B-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Toppunktsformlen siger, at parablen for \(f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\) har toppunktet \(T=\left(\frac{-b}{2\cdot a},\frac{-d}{4\cdot a}\right)\), hvor \(d=b^2-4\cdot a\cdot c\).

Beviset bruger symmetri: Toppunktet ligger midt mellem de to nulpunkter fra løsningsformlen. Derefter sættes x-værdien ind i forskriften for at finde y-værdien. Beviset her forudsætter, at \(d\gt 0\).

Sætningen

Parablen for \(f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\) har toppunktet \(T=\left(\frac{-b}{2\cdot a},\frac{-d}{4\cdot a}\right)\), hvor \(d=b^2-4\cdot a\cdot c\). Her vises det, når grafen skærer x-aksen i to punkter, dvs. \(d\gt 0\).

Det skal du kunne først

  • Symmetri og løsningsformlen  \(x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2\cdot a}\)
    Parablen er symmetrisk om den lodrette linje gennem toppunktet. Løsningsformlen giver nulpunkterne.
  • Brøk- og potensregler  \(\left(\frac{p}{q}\right)^2=\frac{p^2}{q^2}\) og \((-p)^2=p^2\)
    Brøker lægges sammen ved at give dem samme nævner.

Beviset trin for trin

  1. Symmetri

    \(\displaystyle x_T=\frac{x_1+x_2}{2}\)

    Parablen er symmetrisk om den lodrette linje gennem toppunktet. Derfor ligger toppunktets x-værdi midt mellem de to nulpunkter \(x_1\) og \(x_2\).

  2. Nulpunkterne

    \(x_1=\frac{-b-\sqrt{d}}{2\cdot a}\) og \(x_2=\frac{-b+\sqrt{d}}{2\cdot a}\)

    Løsningsformlen giver de to løsninger til \(f(x)=0\), når \(d\gt 0\).

  3. Læg nulpunkterne sammen

    \(\displaystyle x_1+x_2=\frac{-b-\sqrt{d}-b+\sqrt{d}}{2\cdot a}\)\(\displaystyle =\frac{-2\cdot b}{2\cdot a}\)\(\displaystyle =\frac{-b}{a}\)

    Brøkerne har samme nævner, så tællerne lægges sammen. \(\sqrt{d}\) går ud.

  4. Find midtpunktet

    \(\displaystyle x_T=\frac{-b}{a}\cdot\frac{1}{2}\)\(\displaystyle =\frac{-b}{2\cdot a}\)

    At dividere med 2 er det samme som at gange med \(\frac{1}{2}\).

  5. Indsæt i f

    \(\displaystyle y_T=a\cdot\left(\frac{-b}{2\cdot a}\right)^2+b\cdot\frac{-b}{2\cdot a}+c\)

    Toppunktet ligger på grafen, så \(y_T=f(x_T)\).

  6. Potensregler og fortegn

    \(\displaystyle y_T=a\cdot\frac{b^2}{4\cdot a^2}-\frac{b^2}{2\cdot a}+c\)\(\displaystyle =\frac{b^2}{4\cdot a}-\frac{b^2}{2\cdot a}+c\)

    \(\left(\frac{-b}{2\cdot a}\right)^2=\frac{(-b)^2}{(2\cdot a)^2}=\frac{b^2}{4\cdot a^2}\), fordi minus i anden giver plus. Et a forkortes ud.

  7. Fælles nævner

    \(\displaystyle y_T=\frac{b^2}{4\cdot a}-\frac{2\cdot b^2}{4\cdot a}+\frac{4\cdot a\cdot c}{4\cdot a}\)\(\displaystyle =\frac{-b^2+4\cdot a\cdot c}{4\cdot a}\)

    Alle led skrives med nævneren \(4\cdot a\) og lægges sammen.

  8. Konklusion

    \(y_T=\frac{-\left(b^2-4\cdot a\cdot c\right)}{4\cdot a}=\frac{-d}{4\cdot a}\), så \(T=\left(\frac{-b}{2\cdot a},\frac{-d}{4\cdot a}\right)\)

    Minus sættes uden for parentes, og i parentesen står diskriminanten d.

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Virker beviset, hvis \(d\lt 0\)?
Nej, så har grafen ingen nulpunkter at tage midtpunktet af. Formlen gælder stadig, men så må man bruge en anden metode, fx linjen y = c eller differentialregning.
Hvad hvis \(d=0\)?
Så er der kun ét nulpunkt, \(x=\frac{-b}{2\cdot a}\), og det er selve toppunktet. Formlen giver \(y_T=\frac{-0}{4\cdot a}=0\), og det passer.

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben