Start gratis
Opret konto
Bevis · Differentialregning

Bevis for den afledte af √x

HF, STX og HHX · B-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Differentialkvotienten af \(f(x)=\sqrt{x}\) er \(f'(x)=\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}\). Beviset bruger tretrinsreglen og er et af de klassiske beviser til den mundtlige eksamen på B-niveau.

Det afgørende trick er at forlænge differenskvotienten, så kvadratsætning 3 fjerner kvadratrødderne i tælleren. Så kan man forkorte og lade tilvæksten gå mod 0.

Sætningen

Hvis \(f(x)=\sqrt{x}\), hvor \(x\gt 0\), så er \(f'(x)=\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}\).

Det skal du kunne først

  • Tretrinsreglen  \(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{h}\)
    Trin 1: find \(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\). Trin 2: find differenskvotienten \(\frac{\Delta y}{h}\) og reducér. Trin 3: lad \(h\) gå mod 0.
  • Kvadratsætning 3  \((a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2\)
    Med kvadratrødder: \(\left(\sqrt{p}-\sqrt{q}\right)\cdot\left(\sqrt{p}+\sqrt{q}\right)=p-q\).
  • Forlængelse af brøker  \(\frac{p}{q}=\frac{p\cdot r}{q\cdot r}\), når \(r\ne 0\)
    Brøkens værdi ændres ikke, når tæller og nævner ganges med det samme tal.

Beviset trin for trin

  1. Funktionsværdierne

    \(f(x_0)=\sqrt{x_0}\) og \(f(x_0+h)=\sqrt{x_0+h}\)

    \(x_0\gt 0\), og \(h\ne 0\) er så lille, at \(x_0+h\gt 0\).

  2. Trin 1: Find \(\Delta y\)

    \(\displaystyle \Delta y=\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}\)

    \(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\). Kvadratrødderne kan ikke trækkes sammen.

  3. Trin 2: Differenskvotienten

    \(\displaystyle \frac{\Delta y}{h}=\frac{\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}}{h}\)

    \(h\) kan ikke forkortes ud endnu. Lader vi \(h\) gå mod 0 nu, går både tæller og nævner mod 0.

  4. Forlæng brøken

    \(\displaystyle \frac{\Delta y}{h}=\frac{\left(\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}\right)\cdot\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}{h\cdot\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}\)

    Tæller og nævner ganges med \(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\), som er positiv. Brøkens værdi ændres ikke.

  5. Kvadratsætning 3 i tælleren

    \(\displaystyle \left(\sqrt{x_0+h}-\sqrt{x_0}\right)\cdot\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)=x_0+h-x_0\)\(\displaystyle =h\)

    Kvadratsætning 3 fjerner kvadratrødderne i tælleren, fordi \(\left(\sqrt{p}\right)^2=p\).

  6. Forkort med \(h\)

    \(\displaystyle \frac{\Delta y}{h}=\frac{h}{h\cdot\left(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\right)}\)\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}\)

    Det må vi, fordi \(h\ne 0\).

  7. Trin 3: Lad \(h\) gå mod 0

    \(\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}}\)\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0}}\)\(\displaystyle =\frac{1}{2\cdot\sqrt{x_0}}\)

    Når \(h\) går mod 0, går \(\sqrt{x_0+h}\) mod \(\sqrt{x_0}\). Nævneren bliver ikke 0, fordi \(x_0\gt 0\).

  8. Konklusion

    \(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\cdot\sqrt{x}}\)

    \(x_0\gt 0\) var vilkårlig, så resultatet gælder for alle \(x\gt 0\).

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvorfor forlænger man netop med \(\sqrt{x_0+h}+\sqrt{x_0}\)?
Så kan man bruge kvadratsætning 3, og kvadratrødderne forsvinder fra tælleren. Tilbage står \(h\), som kan forkortes ud.
Hvorfor skal \(x\gt 0\)?
\(\sqrt{x}\) er kun defineret for \(x\ge 0\). I \(x=0\) bliver nævneren \(2\cdot\sqrt{0}=0\), så \(f'(0)\) findes ikke. Grafen har en lodret tangent der.

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben