Start gratis
Opret konto
Bevis · Vektorer

Bevis for vinklen mellem to vektorer

STX · A-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

For to egentlige vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) med vinklen v mellem sig gælder \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(v)\). Formlen gør det muligt at finde vinklen mellem to vektorer ud fra deres koordinater.

Beviset udtrykker først skalarproduktet ved længder og vælger derefter et smart koordinatsystem. Fordi længder og vinkler ikke afhænger af koordinatsystemet, gælder resultatet overalt.

Sætningen

For to egentlige vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) med vinklen v mellem sig gælder \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(v)\), dvs. \(\cos(v)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\).

Det skal du kunne først

  • Længde og skalarprodukt  \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\) og \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2\)
    Begge regnes ud fra koordinaterne.
  • Enhedscirklen  \(\begin{pmatrix} r\cdot\cos(v) \\ r\cdot\sin(v) \end{pmatrix}\)
    En vektor med længden r, der danner vinklen v med x-aksen, har disse koordinater.
  • Kvadratsætningen  \((p+q)^2=p^2+q^2+2\cdot p\cdot q\)

Beviset trin for trin

  1. Hvad skal vises

    \(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(v)\)

    v er vinklen mellem \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\), når de afsættes fra samme punkt. Idéen er at regne i et smart koordinatsystem. Først viser vi, at skalarproduktet ikke afhænger af koordinatsystemet.

  2. Længden af summen

    \(\displaystyle |\vec{a}+\vec{b}|^2=(a_1+b_1)^2+(a_2+b_2)^2\)

    Længdeformlen bruges på \(\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \end{pmatrix}\).

  3. Gang ud

    \(\displaystyle |\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2\cdot(a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2)\)

    Kvadratsætningen bruges, og leddene samles: \(a_1^2+a_2^2=|\vec{a}|^2\) og \(b_1^2+b_2^2=|\vec{b}|^2\).

  4. Skalarproduktet udtrykt ved længder

    \(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{1}{2}\cdot\left(|\vec{a}+\vec{b}|^2-|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2\right)\)

    Parentesen i trin 3 er netop \(\vec{a}\cdot\vec{b}\), og den isoleres. Længder ændrer sig ikke, når man flytter eller drejer koordinatsystemet. Derfor gør skalarproduktet det heller ikke.

  5. Vælg et smart koordinatsystem

    \(\displaystyle \vec{a}=\begin{pmatrix} |\vec{a}| \\ 0 \end{pmatrix}\)

    Vi lægger x-aksen i samme retning som \(\vec{a}\). Så ligger \(\vec{a}\) på x-aksen.

  6. Koordinaterne til \(\vec{b}\)

    \(\displaystyle \vec{b}=\begin{pmatrix} |\vec{b}|\cdot\cos(v) \\ b_2 \end{pmatrix}\)

    \(\vec{b}\) danner vinklen v med x-aksen, så førstekoordinaten følger af enhedscirklen. Det gælder, uanset om \(\vec{b}\) peger op eller ned. Andenkoordinaten får vi ikke brug for.

  7. Udregn skalarproduktet

    \(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(v)+0\cdot b_2\)\(\displaystyle =|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(v)\)

    Skalarproduktet regnes ud med koordinaterne i det smarte koordinatsystem.

  8. Gælder i alle koordinatsystemer

    \(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos(v)\)

    Skalarproduktet afhænger ikke af koordinatsystemet (trin 4), og det gør længderne og vinklen heller ikke. Så formlen gælder i ethvert koordinatsystem.

  9. Konklusion

    \(\displaystyle \cos(v)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)

    Vi dividerer med \(|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\), som ikke er 0, fordi vektorerne er egentlige.

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvorfor er det vigtigt, at skalarproduktet ikke afhænger af koordinatsystemet?
Vi regner kun i ét særligt koordinatsystem. Uden uafhængigheden ved vi ikke, at resultatet også gælder i det koordinatsystem, som opgaven er givet i.
Hvornår står to vektorer vinkelret på hinanden?
Når \(v=90^\circ\). Så er \(\cos(v)=0\) og dermed \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\).

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben