Start gratis
Opret konto
Bevis · Geometri

Bevis for Pythagoras’ sætning

HF og STX · C-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Pythagoras’ sætning siger, at i en retvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lig med summen af kvadraterne på kateterne: \(a^2+b^2=c^2\). Beviset er et af de mest brugte til den mundtlige eksamen på C-niveau.

Idéen er at regne arealet af det samme kvadrat på to måder: som \((a+b)^2\) og som fire trekanter plus et lille kvadrat. Når de to udtryk sættes lig hinanden, falder sætningen ud.

Sætningen

I en retvinklet trekant med kateterne a og b og hypotenusen c gælder \(a^2+b^2=c^2\).

Det skal du kunne først

  • Arealet af et kvadrat og en retvinklet trekant  \(s^2\) og \(\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\)
    Kateterne kan bruges som grundlinje og højde i den retvinklede trekant.
  • Kvadratsætningen  \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\)

Beviset trin for trin

  1. Tegn det store kvadrat

    \(\displaystyle \text{side}=a+b\)

    Fire kopier af trekanten drejes og lægges i hjørnerne af et kvadrat med siden a+b. Hypotenuserne danner et lille kvadrat med siden c i midten.

  2. Areal af det store kvadrat

    \(\displaystyle A=(a+b)^2\)

    Kvadratets side er a+b.

  3. Areal fundet ud fra delene

    \(\displaystyle A=4\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot b+c^2\)

    Det store kvadrat består af fire ens trekanter og det lille kvadrat.

  4. Sæt de to udtryk lig hinanden

    \(\displaystyle (a+b)^2=2ab+c^2\)

    Begge udtryk er arealet af det samme kvadrat, og \(4\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot b=2ab\).

  5. Gang parentesen ud

    \(\displaystyle a^2+b^2+2ab=2ab+c^2\)

    Kvadratsætningen bruges på venstresiden.

  6. Konklusion

    \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\)

    2ab trækkes fra på begge sider. Dermed er Pythagoras' sætning bevist.

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvorfor er figuren i midten et kvadrat?
Alle fire sider er c. Vinklerne er 90°, fordi de to spidse vinkler i trekanten tilsammen er 90°, og vinklerne langs en side af det store kvadrat danner en lige vinkel på 180°.
Gælder sætningen i alle trekanter?
Nej, kun i retvinklede. I andre trekanter bruger man cosinusrelationen, som giver Pythagoras, når vinklen er 90°.

Der er 3 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben