Start gratis
Opret konto
Bevis · Differentialligninger

Bevis for løsningen til y′ = k · y

STX og HHX · A-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Differentialligningen \(y'=k\cdot y\) beskriver vækst, hvor væksthastigheden er proportional med størrelsen selv. Den fuldstændige løsning er \(y=c\cdot e^{k\cdot x}\), hvor c er en vilkårlig konstant.

Beviset bruger separation af de variable: y samles på den ene side og x på den anden, begge sider integreres, og til sidst isoleres y med eksponentialfunktionen.

Sætningen

Den fuldstændige løsning til differentialligningen \(y'=k\cdot y\) er \(y=c\cdot e^{k\cdot x}\), hvor c er en vilkårlig konstant.

Det skal du kunne først

  • Separation af de variable  \(\frac{dy}{dx}=h(x)\cdot g(y)\) giver \(\int\frac{1}{g(y)}\,dy=\int h(x)\,dx\)
    Man samler alt med y på den ene side og alt med x på den anden side. Derefter integrerer man begge sider.
  • Stamfunktioner og logaritmer  \(\int\frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+c\) og \(e^{\ln(t)}=t\) for \(t\gt 0\)
  • Potensreglen  \(e^{p+q}=e^p\cdot e^q\)

Beviset trin for trin

  1. Skriv \(y'\) som \(\frac{dy}{dx}\)

    \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=k\cdot y\)

    \(\frac{dy}{dx}\) er en anden skrivemåde for \(y'\).

  2. Separér de variable

    \(\displaystyle \frac{1}{y}\,dy=k\,dx\)

    Vi dividerer med y og ganger med dx. Nu står alt med y til venstre og alt med x til højre. Det kræver \(y\ne 0\). Løsningen \(y=0\) ser vi på til sidst.

  3. Integrér begge sider

    \(\displaystyle \int\frac{1}{y}\,dy=\int k\,dx\)

    De to sider er ens, så deres stamfunktioner er også ens, på nær en konstant.

  4. Find stamfunktionerne

    \(\displaystyle \ln|y|=k\cdot x+c_1\)

    En stamfunktion til \(\frac{1}{y}\) er \(\ln|y|\), og en stamfunktion til k er \(k\cdot x\). De to integrationskonstanter samles i én konstant \(c_1\).

  5. Brug e på begge sider

    \(\displaystyle |y|=e^{k\cdot x+c_1}\)\(\displaystyle =e^{c_1}\cdot e^{k\cdot x}\)

    e og ln ophæver hinanden, så \(e^{\ln|y|}=|y|\). Derefter bruges potensreglen \(e^{p+q}=e^p\cdot e^q\).

  6. Fjern den numeriske værdi

    \(\displaystyle y=\pm e^{c_1}\cdot e^{k\cdot x}\)

    y kan være positiv eller negativ.

  7. Indfør en ny konstant

    \(\displaystyle c=\pm e^{c_1}\)

    \(\pm e^{c_1}\) kan være ethvert tal undtagen 0. Det tal kalder vi c.

  8. Konklusion

    \(\displaystyle y=c\cdot e^{k\cdot x}\)

    \(y=0\) er også en løsning, fordi \(0'=0=k\cdot 0\). Den svarer til \(c=0\). Så c kan være ethvert tal.

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvorfor er der kun én konstant, når man integrerer begge sider?
Begge sider giver en konstant. Man trækker den ene fra på begge sider, så der kun er én konstant tilbage.
Hvordan kan du kontrollere løsningen?
Gør prøve: \(y'=c\cdot k\cdot e^{k\cdot x}=k\cdot\left(c\cdot e^{k\cdot x}\right)=k\cdot y\).

Der er 3 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben