Start gratis
Opret konto
Bevis · Differentialregning

Bevis for kædereglen (sammensatte funktioner)

STX og HHX · A-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Kædereglen – reglen for sammensatte funktioner – siger, at hvis \(s(x)=f(g(x))\), så er \(s'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\). Man differentierer den ydre funktion, sætter den indre ind og ganger med den indre funktions afledte.

Beviset bruger tretrinsreglen. Det afgørende trin er at bytte om på nævnerne, så differenskvotienten deles op i to brøker, der hver går mod en differentialkvotient.

Sætningen

Hvis \(s(x)=f(g(x))\), hvor f og g er differentiable, så er \(s'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\). Man differentierer den ydre funktion, sætter den indre funktion ind og ganger med den indre funktions afledte.

Det skal du kunne først

  • Grænseværdi  \(\frac{\Delta y}{h}\to f'(x_0)\) for \(h\to 0\)
    Differenskvotienten kommer så tæt på \(f'(x_0)\), som vi vil, når \(h\) er tæt nok på 0. Grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne.
  • Tretrinsreglen  1) \(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\), 2) \(\frac{\Delta y}{h}\), 3) lad \(h\to 0\)
  • Den kommutative lov for multiplikation  \(a\cdot b=b\cdot a\)
    Derfor er \(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}=\frac{a}{d}\cdot\frac{c}{b}\).

Beviset trin for trin

  1. Indre og ydre funktion

    \(u=g(x)\) og \(y=f(u)\), så \(y=s(x)=f(g(x))\)

    g er den indre funktion, og f er den ydre funktion. Vi kalder \(u_0=g(x_0)\).

  2. Trin 1: tilvæksterne

    \(\Delta u=g(x_0+h)-g(x_0)\) og \(\Delta y=f(u_0+\Delta u)-f(u_0)\)

    Når x vokser med \(h\), vokser u med \(\Delta u\). Da \(g(x_0+h)=u_0+\Delta u\), er \(\Delta y=s(x_0+h)-s(x_0)\).

  3. Trin 2: differenskvotienten

    \(\displaystyle \frac{\Delta y}{h}=\frac{\Delta y}{h}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta u}\)

    Vi ganger med \(\frac{\Delta u}{\Delta u}=1\). Det ændrer ikke noget, men det kræver, at \(\Delta u\ne 0\).

  4. Byt om på nævnerne

    \(\displaystyle \frac{\Delta y}{h}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{h}\)

    Den kommutative lov: \(\frac{\Delta y\cdot\Delta u}{h\cdot\Delta u}=\frac{\Delta y\cdot\Delta u}{\Delta u\cdot h}\). Nu er der en differenskvotient for f og en for g.

  5. Trin 3: lad \(h\to 0\)

    \(\displaystyle \Delta u=g(x_0+h)-g(x_0)\to 0\)

    g er differentiabel og dermed kontinuert. Når \(h\to 0\), går \(\Delta u\) derfor også mod 0.

  6. Find grænseværdierne

    \(\frac{\Delta y}{\Delta u}\to f'(u_0)=f'(g(x_0))\) og \(\frac{\Delta u}{h}\to g'(x_0)\)

    \(\frac{\Delta y}{\Delta u}\) er differenskvotienten for f i \(u_0\), og \(\Delta u\to 0\). \(\frac{\Delta u}{h}\) er differenskvotienten for g i \(x_0\).

  7. Konklusion

    \(\displaystyle s'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)\)

    Grænseværdien af et produkt er produktet af grænseværdierne, så \(s'(x_0)=f'(g(x_0))\cdot g'(x_0)\). Det gælder for alle \(x_0\).

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvad nu hvis \(\Delta u=0\)?
Så må man ikke dividere med \(\Delta u\). Beviset virker, når \(\Delta u\ne 0\) for små \(h\), fx når \(g'(x_0)\ne 0\). Reglen gælder også i de andre tilfælde, men så kræver beviset et ekstra argument.
Hvor bruger du den kommutative lov?
Når jeg bytter om på \(h\) og \(\Delta u\) i nævneren, så \(\frac{\Delta y}{h}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta u}\) bliver til \(\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{h}\).

Der er 3 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben