Start gratis
Opret konto
Bevis · Lineære funktioner

Bevis for topunktsformlen for a

HF, STX og HHX · C-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Kender du to punkter på grafen for en lineær funktion \(f(x)=a\cdot x+b\), kan du finde hældningstallet med topunktsformlen \(a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). Det er et af de første beviser, du møder på C-niveau.

Beviset er kort: Sæt begge punkter ind i forskriften, træk de to ligninger fra hinanden, så b går ud, og isolér a.

Sætningen

Hvis grafen for \(f(x)=a\cdot x+b\) går gennem punkterne \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\), hvor \(x_1\ne x_2\), er \(a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).

Det skal du kunne først

  • At sætte et punkt ind i en forskrift  og at sætte en fælles faktor uden for en parentes
    Fx er \(a\cdot x_2-a\cdot x_1=a\cdot(x_2-x_1)\).

Beviset trin for trin

  1. Indsæt de to punkter

    \(y_1=a\cdot x_1+b\) og \(y_2=a\cdot x_2+b\)

    Begge punkter ligger på grafen, så de opfylder forskriften.

  2. Træk ligningerne fra hinanden

    \(\displaystyle y_2-y_1=a\cdot x_2+b-(a\cdot x_1+b)\)

    Den første ligning trækkes fra den anden.

  3. Reducér

    \(\displaystyle y_2-y_1=a\cdot x_2-a\cdot x_1\)

    b går ud.

  4. Sæt a uden for parentes

    \(\displaystyle y_2-y_1=a\cdot(x_2-x_1)\)

    a er fælles faktor på højre side.

  5. Divider med \(x_2-x_1\)

    \(\displaystyle a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)

    Det må man, fordi \(x_1\ne x_2\), så \(x_2-x_1\ne 0\). Dermed er formlen bevist.

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvorfor skal \(x_1\ne x_2\)?
Ellers er \(x_2-x_1=0\), og man kan ikke dividere med 0. To punkter med samme x-værdi ligger på en lodret linje, som ikke er graf for en funktion.
Gør det noget, hvilket punkt man kalder punkt 1?
Nej. Bytter man om, skifter både tæller og nævner fortegn, og brøken er den samme.

Der er 3 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben