Start gratis
Opret konto
Bevis · Eksponentielle funktioner

Bevis for fordoblingskonstanten

HF, STX og HHX · C-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

For en voksende eksponentiel funktion \(f(x)=b\cdot a^x\) er fordoblingskonstanten \(T_2=\frac{\log(2)}{\log(a)}\). Den fortæller, hvor meget x skal vokse, før funktionsværdien er blevet dobbelt så stor.

Beviset tager udgangspunkt i, at \(f(x+T_2)=2\cdot f(x)\). Med potensreglen og logaritmereglen isoleres \(T_2\) – og undervejs ser man, at en fordobling tager lige lang tid, uanset hvor man starter.

Sætningen

For en voksende eksponentiel funktion \(f(x)=b\cdot a^x\) med \(a\gt 1\) er fordoblingskonstanten \(T_2=\frac{\log(2)}{\log(a)}\).

Det skal du kunne først

  • Logaritmereglen  \(\log\left(a^n\right)=n\cdot\log(a)\)
    og potensreglen \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\).

Beviset trin for trin

  1. Hvad skal vises

    \(\displaystyle f(x+T_2)=2\cdot f(x)\)

    Fordoblingskonstanten \(T_2\) er den tilvækst i x, der får funktionsværdien til at blive fordoblet.

  2. Indsæt forskriften

    \(\displaystyle b\cdot a^{x+T_2}=2\cdot b\cdot a^x\)

    Forskriften sættes ind på begge sider.

  3. Brug potensreglen

    \(\displaystyle b\cdot a^x\cdot a^{T_2}=2\cdot b\cdot a^x\)

    \(a^{x+T_2}=a^x\cdot a^{T_2}\).

  4. Divider med \(b\cdot a^x\)

    \(\displaystyle a^{T_2}=2\)

    \(b\cdot a^x\) er positiv, så vi må dividere med den. x forsvinder, så fordoblingen tager lige lang tid, uanset hvor man starter.

  5. Tag logaritmen

    \(\displaystyle \log\left(a^{T_2}\right)=\log(2)\)

    Begge sider er positive, så man må tage logaritmen på begge sider.

  6. Brug logaritmereglen

    \(\displaystyle T_2\cdot\log(a)=\log(2)\)

    Potensreglen for logaritmer flytter \(T_2\) ned foran.

  7. Konklusion

    \(\displaystyle T_2=\frac{\log(2)}{\log(a)}\)

    Vi dividerer med \(\log(a)\), som er positiv, fordi \(a\gt 1\).

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvorfor skal a være større end 1?
Kun en voksende funktion bliver fordoblet. For \(0\lt a\lt 1\) er \(\log(a)\lt 0\), og formlen giver et negativt tal.
Hvorfor afhænger \(T_2\) ikke af b eller x?
\(b\cdot a^x\) går ud, når vi dividerer. Derfor tager en fordobling altid lige lang tid.

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben