Start gratis
Opret konto
Bevis · Integralregning

Bevis for arealfunktionen

STX og HHX · A-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Sætningen om arealfunktionen siger, at arealet \(A(x)\) under grafen for en kontinuert funktion f er en stamfunktion til f: \(A'(x)=f(x)\). Det er grundstenen i integralregningen og et centralt bevis på A-niveau.

Beviset ser på en tynd strimmel under grafen og klemmer den mellem to rektangler. Når strimlens bredde \(\Delta x\) går mod 0, bliver differenskvotienten klemt fast på \(f(x)\).

Sætningen

Lad f være kontinuert med \(f(x)\ge 0\), og lad \(A(x)\) være arealet mellem grafen for f og x-aksen fra a til x. Så er arealfunktionen en stamfunktion til f, dvs. \(A'(x)=f(x)\).

Det skal du kunne først

  • Arealfunktionen og rektanglets areal  \(A(a)=0\) og \(\text{areal}=\text{højde}\cdot\text{bredde}\)
    \(A(x)\) er arealet under grafen fra a til x. Fra a til a er der intet areal.
  • Differentialkvotienten  \(A'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}\)
    Man må dividere en dobbelt ulighed med et positivt tal uden at vende ulighedstegnene.
  • Stamfunktion og bestemt integral  \(F'(x)=f(x)\) og \(\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\)

Beviset trin for trin

  1. Tilvæksten i arealet

    \(\displaystyle \Delta A=A(x+h)-A(x)\)

    \(\Delta A\) er arealet af den smalle strimmel under grafen fra x til \(x+h\). Vi ser på \(h\gt 0\).

  2. Vægt strimlen med to rektangler

    \(\displaystyle f(x)\cdot h\le\Delta A\le f(x+h)\cdot h\)

    Er f voksende på det lille stykke, ligger strimlen mellem et rektangel med højden \(f(x)\) og et med højden \(f(x+h)\). Begge har bredden \(h\). Er f aftagende, bytter de to rektangler plads.

  3. Divider med \(h\)

    \(\displaystyle f(x)\le\frac{\Delta A}{h}\le f(x+h)\)

    \(h\) er positiv, så ulighedstegnene vender samme vej. I midten står differenskvotienten for A.

  4. Lad \(h\) gå mod 0

    \(f(x+h)\to f(x)\), når \(h\to 0\)

    f er kontinuert, så den øvre grænse nærmer sig \(f(x)\). Den nedre grænse er hele tiden \(f(x)\).

  5. Klem differenskvotienten

    \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\Delta A}{h}=f(x)\)

    Differenskvotienten ligger hele tiden mellem to tal, der begge nærmer sig \(f(x)\). Derfor må den også nærme sig \(f(x)\).

  6. Konklusion

    \(\displaystyle A'(x)=f(x)\)

    Grænseværdien af differenskvotienten er pr. definition \(A'(x)\). Altså er A en stamfunktion til f, og arealet fra a til b kan findes som \(\int_a^b f(x)\,dx\).

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvorfor skal f være kontinuert?
Så nærmer \(f(x+h)\) sig \(f(x)\), når \(h\) går mod 0. Har grafen et spring i x, bliver de to rektangler ved med at være forskellige, og så virker klemmen ikke.
Hvad hvis f er aftagende på det lille stykke?
Så er \(f(x+h)\) den mindste højde og \(f(x)\) den største. Ulighederne vender om, men begge grænser går stadig mod \(f(x)\), så resultatet er det samme.

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben