Start gratis
Opret konto
Bevis · Eksponentielle funktioner

Bevis for halveringskonstanten

HF, STX og HHX · C-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

For en aftagende eksponentiel funktion \(f(x)=b\cdot a^x\) med \(0\lt a\lt 1\) er halveringskonstanten \(T_{\frac{1}{2}}=\frac{\log\left(\frac{1}{2}\right)}{\log(a)}\). Den fortæller, hvor meget x skal vokse, før funktionsværdien er halveret.

Beviset minder om beviset for fordoblingskonstanten: Man starter med \(f\left(x+T_{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\cdot f(x)\) og isolerer halveringskonstanten med potensreglen og logaritmereglen.

Sætningen

For en aftagende eksponentiel funktion \(f(x)=b\cdot a^x\) med \(0\lt a\lt 1\) er halveringskonstanten \(T_{\frac{1}{2}}=\frac{\log\left(\frac{1}{2}\right)}{\log(a)}\).

Det skal du kunne først

  • Logaritmereglen  \(\log\left(a^n\right)=n\cdot\log(a)\)
    og potensreglen \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\).

Beviset trin for trin

  1. Hvad skal vises

    \(\displaystyle f\left(x+T_{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\cdot f(x)\)

    Halveringskonstanten er den tilvækst i x, der får funktionsværdien til at blive halveret.

  2. Indsæt forskriften

    \(\displaystyle b\cdot a^{x+T_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot a^x\)

    Forskriften sættes ind på begge sider.

  3. Brug potensreglen

    \(\displaystyle b\cdot a^x\cdot a^{T_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\cdot b\cdot a^x\)

    \(a^{x+T_{\frac{1}{2}}}=a^x\cdot a^{T_{\frac{1}{2}}}\).

  4. Divider med \(b\cdot a^x\)

    \(\displaystyle a^{T_{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}\)

    \(b\cdot a^x\) er positiv, så vi må dividere med den. x forsvinder, så halveringen tager lige lang tid, uanset hvor man starter.

  5. Tag logaritmen

    \(\displaystyle \log\left(a^{T_{\frac{1}{2}}}\right)=\log\left(\frac{1}{2}\right)\)

    Begge sider er positive, så man må tage logaritmen på begge sider.

  6. Brug logaritmereglen

    \(\displaystyle T_{\frac{1}{2}}\cdot\log(a)=\log\left(\frac{1}{2}\right)\)

    Potensreglen for logaritmer flytter \(T_{\frac{1}{2}}\) ned foran.

  7. Konklusion

    \(\displaystyle T_{\frac{1}{2}}=\frac{\log\left(\frac{1}{2}\right)}{\log(a)}\)

    Vi dividerer med \(\log(a)\), som ikke er 0, fordi \(a\ne 1\).

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvorfor er resultatet positivt?
Når \(0\lt a\lt 1\), er både \(\log\left(\frac{1}{2}\right)\) og \(\log(a)\) negative. Minus divideret med minus giver plus.
Kan formlen skrives på en anden måde?
Ja. \(\log\left(\frac{1}{2}\right)=-\log(2)\), så \(T_{\frac{1}{2}}=-\frac{\log(2)}{\log(a)}\).

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben