Start gratis
Opret konto
Bevis · Procent og rente

Bevis for renteformlen

HF og STX · C-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Renteformlen \(K=K_0\cdot(1+r)^n\) giver slutkapitalen, når startkapitalen \(K_0\) forrentes med rentefoden r i n terminer. På HHX hedder den kapitalfremskrivningsformlen.

Beviset følger kapitalen termin for termin: Hver gang lægges renten til, og kapitalen ganges med fremskrivningsfaktoren \(1+r\). Mønsteret giver formlen.

Sætningen

Hvis en startkapital \(K_0\) forrentes med rentefoden \(r\) pr. termin i \(n\) terminer, er slutkapitalen \(K=K_0\cdot(1+r)^n\).

Det skal du kunne først

  • Potensreglerne  \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)
    Fx er \((1+r)^2\cdot(1+r)=(1+r)^3\), og \((1+r)\cdot(1+r)\cdot\ldots\cdot(1+r)\) med \(n\) faktorer er \((1+r)^n\).

Beviset trin for trin

  1. Første termin

    \(\displaystyle K_1=K_0+K_0\cdot r\)\(\displaystyle =K_0\cdot(1+r)\)

    Renten efter én termin er \(K_0\cdot r\). Den lægges til, og \(K_0\) sættes uden for parentes.

  2. Anden termin

    \(\displaystyle K_2=K_1\cdot(1+r)\)\(\displaystyle =K_0\cdot(1+r)\cdot(1+r)\)\(\displaystyle =K_0\cdot(1+r)^2\)

    Nu får man rente af \(K_1\) – altså også rente af renten. Derfor ganges der igen med \(1+r\).

  3. Tredje termin

    \(\displaystyle K_3=K_2\cdot(1+r)\)\(\displaystyle =K_0\cdot(1+r)^2\cdot(1+r)\)\(\displaystyle =K_0\cdot(1+r)^3\)

    Samme skridt igen. Potensreglen samler faktorerne: \((1+r)^2\cdot(1+r)=(1+r)^3\).

  4. Mønsteret

    For hver termin ganges kapitalen med fremskrivningsfaktoren \(1+r\) én gang mere.

    Efter \(n\) terminer er der ganget med \(1+r\) i alt \(n\) gange.

  5. Konklusion

    \(\displaystyle K=K_0\cdot\underbrace{(1+r)\cdot(1+r)\cdot\ldots\cdot(1+r)}_{n\text{ faktorer}}\)\(\displaystyle =K_0\cdot(1+r)^n\)

    Dermed er renteformlen bevist.

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvad er fremskrivningsfaktoren, hvis renten er 3 % pr. termin?
\(1+r=1+0{,}03=1{,}03\). Kapitalen ganges med 1,03 for hver termin.
Hvorfor lægger man ikke bare \(n\cdot r\cdot K_0\) til startkapitalen?
Fordi renten hver gang beregnes af det beløb, der står på kontoen – også de renter, der allerede er tilskrevet (rentes rente). \(K_0\cdot(1+n\cdot r)\) ville være simpel rente.

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben