Bevis for cosinusrelationen

Det skal du kunne først

• Pythagoras og cosinus i en retvinklet trekant  \(a^2+b^2=c^2\) og \(\cos(v)=\frac{\text{hosliggende katete}}{\text{hypotenuse}}\)
• Kvadratsætningen  \((c-x)^2=c^2+x^2-2cx\)

Beviset trin for trin

1. 1

   Tegn højden fra C

   \(\displaystyle |DB|=c-x\)

   Højden h fra C rammer siden AB i punktet D. Kald \(|AD|=x\). Så er resten af siden \(c-x\).

2. 2

   Pythagoras i trekant ADC

   \(\displaystyle b^2=h^2+x^2\)

   Trekant ADC er retvinklet ved D, og b er hypotenusen.

3. 3

   Pythagoras i trekant BDC

   \(\displaystyle a^2=h^2+(c-x)^2\)

   Trekant BDC er retvinklet ved D, og a er hypotenusen.

4. 4

   Gang parentesen ud

   \(\displaystyle a^2=h^2+x^2+c^2-2cx\)

   Kvadratsætningen bruges på \((c-x)^2\).

5. 5

   Indsæt \(b^2\)

   \(\displaystyle a^2=b^2+c^2-2cx\)

   Fra trin 2 er \(h^2+x^2=b^2\).

6. 6

   Udtryk x med cosinus

   \(\displaystyle x=b\cdot\cos(A)\)

   I trekant ADC er \(\cos(A)=\frac{x}{b}\).

7. 7

   Konklusion

   \(\displaystyle a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos(A)\)

   x indsættes. Dermed er cosinusrelationen bevist.

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Der er 3 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

• Bevis for Pythagoras’ sætningHF og STX · C-niveau
• Bevis for topunktsformlen for aHF, STX og HHX · C-niveau
• Bevis for fordoblingskonstantenHF, STX og HHX · C-niveau
• Bevis for renteformlenHF og STX · C-niveau
• Bevis for logaritmereglerneHF, STX og HHX · C-niveau
• Bevis for halveringskonstantenHF, STX og HHX · C-niveau

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben