Start gratis
Opret konto
Bevis · Logaritmer

Bevis for logaritmereglerne

HF, STX og HHX · C-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Logaritmereglerne siger, at \(\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)\), \(\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)\) og \(\log\left(a^x\right)=x\cdot\log(a)\). De bruges overalt, hvor man løser eksponentielle ligninger.

Beviset skriver a og b som potenser af 10 og bruger potensreglerne. Fordi log er det modsatte af at opløfte 10 i en potens, bliver gange til plus, division til minus og potens til gange.

Sætningen

For positive tal a og b og ethvert tal x gælder logaritmereglerne \(\log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)\), \(\log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)\) og \(\log\left(a^x\right)=x\cdot\log(a)\).

Det skal du kunne først

  • Definitionen af logaritmen  \(10^{\log(a)}=a\) og \(\log\left(10^x\right)=x\)
    \(\log(a)\) er det tal, man skal opløfte 10 i for at få a.
  • Potensregnereglerne  \(10^m\cdot 10^n=10^{m+n}\), \(\frac{10^m}{10^n}=10^{m-n}\) og \(\left(10^m\right)^n=10^{m\cdot n}\)

Beviset trin for trin

  1. Skriv a og b som potenser af 10

    \(\displaystyle a=10^{\log(a)}\)

    Det er definitionen af log. Tilsvarende er \(b=10^{\log(b)}\).

  2. Produktet

    \(\displaystyle a\cdot b=10^{\log(a)}\cdot 10^{\log(b)}\)\(\displaystyle =10^{\log(a)+\log(b)}\)

    Potenser med samme grundtal ganges ved at lægge eksponenterne sammen.

  3. Tag log på begge sider

    \(\displaystyle \log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)\)

    Da \(\log\left(10^x\right)=x\), giver log af en tierpotens netop eksponenten. Den første regel er bevist.

  4. Brøken

    \(\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{10^{\log(a)}}{10^{\log(b)}}\)\(\displaystyle =10^{\log(a)-\log(b)}\)

    Potenser med samme grundtal divideres ved at trække eksponenterne fra hinanden.

  5. Tag log igen

    \(\displaystyle \log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b)\)

    log af en tierpotens er eksponenten. Den anden regel er bevist.

  6. Potensen

    \(\displaystyle a^x=\left(10^{\log(a)}\right)^x\)\(\displaystyle =10^{x\cdot\log(a)}\)

    En potens opløftes i en potens ved at gange eksponenterne.

  7. Tag log en sidste gang

    \(\displaystyle \log\left(a^x\right)=x\cdot\log(a)\)

    log af en tierpotens er eksponenten. Den tredje regel er bevist.

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvorfor skal a og b være positive?
\(10^x\) er altid positiv, så log findes kun for positive tal.
Beregn \(\log(2)+\log(5)\) uden lommeregner.
\(\log(2)+\log(5)=\log(2\cdot 5)=\log(10)=1\).

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben