Start gratis
Opret konto
Bevis · Differentialregning

Bevis for den afledte af 1/x

HF, STX og HHX · B-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Differentialkvotienten af \(f(x)=\frac{1}{x}\) er \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\). Beviset bruger tretrinsreglen og hører til differentialregning på B-niveau.

Undervejs sættes to brøker på fælles brøkstreg, så tilvæksten kan forkortes væk, før den går mod 0.

Sætningen

Hvis \(f(x)=\frac{1}{x}\), hvor \(x\ne 0\), så er \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\).

Det skal du kunne først

  • Tretrinsreglen  \(f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\Delta y}{h}\)
    Trin 1: find \(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\). Trin 2: find differenskvotienten \(\frac{\Delta y}{h}\) og reducér. Trin 3: lad \(h\) gå mod 0.
  • Brøker på fælles nævner  \(\frac{p}{q}-\frac{r}{s}=\frac{p\cdot s-r\cdot q}{q\cdot s}\)
    Hver brøk forlænges, så de får samme nævner. Så kan tællerne trækkes fra hinanden.
  • Division af en brøk med et tal  \(\frac{p}{q}:r=\frac{p}{q\cdot r}\)
    Man dividerer en brøk med et tal ved at gange tallet op i nævneren.

Beviset trin for trin

  1. Funktionsværdierne

    \(f(x_0)=\frac{1}{x_0}\) og \(f(x_0+h)=\frac{1}{x_0+h}\)

    \(x_0\ne 0\), og \(h\ne 0\) er så lille, at \(x_0+h\) heller ikke er 0.

  2. Trin 1: Find \(\Delta y\)

    \(\displaystyle \Delta y=\frac{1}{x_0+h}-\frac{1}{x_0}\)

    \(\Delta y=f(x_0+h)-f(x_0)\).

  3. Fælles nævner

    \(\displaystyle \Delta y=\frac{x_0-(x_0+h)}{x_0\cdot(x_0+h)}\)

    Den fælles nævner er \(x_0\cdot(x_0+h)\). Den første brøk forlænges med \(x_0\), den anden med \(x_0+h\).

  4. Reducér tælleren

    \(\displaystyle \Delta y=\frac{-h}{x_0\cdot(x_0+h)}\)

    \(x_0-(x_0+h)=x_0-x_0-h=-h\).

  5. Trin 2: Differenskvotienten

    \(\displaystyle \frac{\Delta y}{h}=\frac{-h}{x_0\cdot(x_0+h)\cdot h}\)\(\displaystyle =\frac{-1}{x_0\cdot(x_0+h)}\)

    Vi dividerer brøken med \(h\) ved at gange \(h\) op i nævneren. Derefter forkortes med \(h\), som ikke er 0.

  6. Trin 3: Lad \(h\) gå mod 0

    \(\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{-1}{x_0\cdot(x_0+h)}\)\(\displaystyle =\frac{-1}{x_0\cdot x_0}\)\(\displaystyle =-\frac{1}{x_0^2}\)

    Når \(h\) går mod 0, går \(x_0+h\) mod \(x_0\).

  7. Konklusion

    \(\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)

    \(x_0\) var et vilkårligt tal forskelligt fra 0, så resultatet gælder for alle \(x\ne 0\).

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvorfor skal \(x\ne 0\)?
Man kan ikke dividere med 0, så \(f(0)\) findes ikke. Derfor findes \(f'(0)\) heller ikke.
Hvorfor er \(f'(x)\) negativ for alle x?
\(x^2\) er positiv, når \(x\ne 0\), så \(-\frac{1}{x^2}\) er negativ. Grafen er aftagende på hver af sine to grene.

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben