Start gratis
Opret konto
Bevis · Sandsynlighed og statistik

Bevis for binomialformlen

HF, STX og HHX · B-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Binomialformlen giver sandsynligheden for præcis r succeser i et binomialforsøg: \(P(X=r)=K(n,r)\cdot p^r\cdot(1-p)^{n-r}\), hvor \(K(n,r)=\frac{n!}{r!\cdot(n-r)!}\).

Beviset ser på ét bestemt udfald med r succeser og finder dets sandsynlighed med produktreglen. Alle udfald med r succeser har samme sandsynlighed, så man ganger med antallet af måder at placere succeserne på.

Sætningen

Hvis X er binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p, er sandsynligheden for præcis r succeser \(P(X=r)=K(n,r)\cdot p^r\cdot(1-p)^{n-r}\), hvor \(K(n,r)=\frac{n!}{r!\cdot(n-r)!}\).

Det skal du kunne først

  • Binomialforsøg  \(P(\text{succes})=p\) og \(P(\text{fiasko})=1-p\)
    Det samme forsøg gentages n gange, uafhængigt af hinanden. Hver gang er der to udfald: succes (S) eller fiasko (F). X er antallet af succeser.
  • Produktreglen for uafhængige forsøg  \(P(A\text{ og }B)=P(A)\cdot P(B)\)
    Når forsøgene ikke påvirker hinanden, ganges sandsynlighederne.
  • Kombinationer  \(K(n,r)=\frac{n!}{r!\cdot(n-r)!}\)
    Antallet af måder at udtage r elementer blandt n på, når rækkefølgen er ligegyldig.

Beviset trin for trin

  1. Et udfald er en følge

    \(\displaystyle S\,S\cdots S\,F\,F\cdots F\)

    Et udfald af hele forsøget er en følge af n bogstaver, S eller F. Vi ser først på følgen, hvor de r første forsøg giver succes (r S'er), og de sidste \(n-r\) giver fiasko.

  2. Sandsynligheden for følgen

    \(\displaystyle p\cdots p\cdot(1-p)\cdots(1-p)=p^r\cdot(1-p)^{n-r}\)

    Forsøgene er uafhængige, så sandsynlighederne ganges. Der er r faktorer p og \(n-r\) faktorer \(1-p\).

  3. Rækkefølgen ændrer ikke sandsynligheden

    \(\displaystyle P(SFS)=p\cdot(1-p)\cdot p\)\(\displaystyle =p^2\cdot(1-p)\)

    Enhver følge med r S'er og \(n-r\) F'er har sandsynligheden \(p^r\cdot(1-p)^{n-r}\). Faktorerne står bare i en anden rækkefølge, som i eksemplet med \(n=3\) og \(r=2\).

  4. Tæl følgerne

    \(\displaystyle K(n,r)\)

    En følge med r succeser er bestemt af, hvilke r af de n pladser der får et S. Rækkefølgen af de valgte pladser er ligegyldig, så der er \(K(n,r)\) følger.

  5. Læg sandsynlighederne sammen

    \(\displaystyle P(X=r)\)\(\displaystyle =p^r\cdot(1-p)^{n-r}+p^r\cdot(1-p)^{n-r}+\ldots+p^r\cdot(1-p)^{n-r}\)

    Hændelsen \(X=r\) består af de \(K(n,r)\) følger. To forskellige følger kan ikke ske samtidig, så sandsynlighederne lægges sammen.

  6. Konklusion

    \(\displaystyle P(X=r)\)\(\displaystyle =K(n,r)\cdot p^r\cdot(1-p)^{n-r}\)

    Der er \(K(n,r)\) ens led, og gentagen addition er multiplikation. Dermed er binomialformlen bevist.

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvorfor må man gange sandsynlighederne?
Fordi forsøgene er uafhængige. Udfaldet i ét forsøg påvirker ikke sandsynlighederne i de andre.
Hvorfor bruger man \(K(n,r)\) og ikke \(P(n,r)\)?
Vi vælger kun, hvilke pladser der får et S. Alle S'er er ens, så rækkefølgen af de valgte pladser er ligegyldig.

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben