Start gratis
Opret konto
Bevis · Annuitetsregning

Bevis for formlen for annuitetsopsparing

HHX, HF og STX · B-niveau · mundtlig eksamen · Forklaret af gymnasielærer Kofi D. Mensah

Indbetaler man ydelsen y ved slutningen af hver termin i n terminer med rentefoden r, er slutværdien \(A_n=y\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}\). Beviset bruges på HHX og som supplerende stof på HF og STX.

Hver indbetaling fremskrives med renteformlen, og værdierne lægges sammen. Ganger man summen med \(1+r\) og trækker de to summer fra hinanden, går næsten alle led ud.

Sætningen

Hvis man indbetaler ydelsen \(y\) ved slutningen af hver termin i \(n\) terminer, og rentefoden er \(r\) pr. termin, er slutværdien lige efter sidste indbetaling \(A_n=y\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}\).

Det skal du kunne først

  • Renteformlen  \(K=K_0\cdot(1+r)^n\)
    Et beløb, der står på kontoen i \(k\) terminer, ganges med \((1+r)^k\).
  • Kvotientrække (geometrisk række)  \(a+a\cdot q+a\cdot q^2+\ldots+a\cdot q^{n-1}\)
    En sum, hvor hvert led er det forrige led ganget med det samme tal \(q\).

Beviset trin for trin

  1. Fremskriv hver indbetaling

    \(\displaystyle y\cdot(1+r)^{n-1},\ y\cdot(1+r)^{n-2},\ \ldots,\ y\cdot(1+r),\ y\)

    Den første indbetaling står på kontoen i \(n-1\) terminer og vokser til \(y\cdot(1+r)^{n-1}\) efter renteformlen. Den næste står én termin mindre osv. Den sidste indbetaling når ikke at få rente.

  2. Læg værdierne sammen

    \(\displaystyle A_n=y+y\cdot(1+r)+y\cdot(1+r)^2+\ldots+y\cdot(1+r)^{n-1}\)

    Slutværdien er summen af alle indbetalingernes værdier, her skrevet bagfra. Det er en kvotientrække med første led \(y\) og kvotient \(1+r\).

  3. Gang med \(1+r\)

    \(\displaystyle (1+r)\cdot A_n=y\cdot(1+r)+y\cdot(1+r)^2+\ldots+y\cdot(1+r)^n\)

    Begge sider ganges med \(1+r\). Hvert led rykker én potens op, fordi \((1+r)^k\cdot(1+r)=(1+r)^{k+1}\).

  4. Træk summerne fra hinanden

    \(\displaystyle (1+r)\cdot A_n-A_n=y\cdot(1+r)^n-y\)

    Den oprindelige sum \(A_n\) trækkes fra den nye sum. Leddene fra \(y\cdot(1+r)\) til \(y\cdot(1+r)^{n-1}\) står i begge summer og går ud. Kun \(y\cdot(1+r)^n\) og \(y\) er tilbage.

  5. Reducér

    \(\displaystyle r\cdot A_n=y\cdot\left((1+r)^n-1\right)\)

    Venstre side: \((1+r)\cdot A_n-A_n=A_n+r\cdot A_n-A_n=r\cdot A_n\). På højre side sættes \(y\) uden for parentes.

  6. Konklusion

    \(\displaystyle A_n=y\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}\)

    Der divideres med \(r\), som er positiv. Dermed er formlen bevist.

∎ Dermed er sætningen bevist.

Det kan censor spørge om

Hvorfor står den første indbetaling kun i \(n-1\) terminer?
Den indbetales ved slutningen af 1. termin, og så er der \(n-1\) terminer tilbage. Den sidste indbetaling sker samtidig med, at slutværdien gøres op, så den får ingen rente.
Kan man bruge sumformlen for en kvotientrække i stedet?
Ja. Med første led \(y\), kvotient \(q=1+r\) og \(n\) led giver sumformlen \(y\cdot\frac{q^n-1}{q-1}=y\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}\), fordi \(q-1=r\). At gange med \(q\) og trække fra er netop beviset for sumformlen.

Der er 4 censorspørgsmål til beviset i kurset.

Flere beviser til mundtlig eksamen

Se alle beviser · Alle beviser på dit niveau med flueben