Differentialregning – regneregler og tangentens ligning

Differentialkvotienten f′(x₀) er hældningen af tangenten til grafen i punktet (x₀ ; f(x₀)). Med regnereglerne kan du differentiere de fleste funktioner uden at bruge definitionen.

Regneregler

Funktion f(x)	Afledt f′(x)
k (konstant)	0
xⁿ	n · xⁿ⁻¹
eˣ	eˣ
ln(x)	1/x
k · f(x)	k · f′(x)
f(x) + g(x)	f′(x) + g′(x)

Tangentens ligning

y = f′(x₀) · (x − x₀) + f(x₀)

Eksempel

Bestem tangenten til f(x) = x³ − 2x i punktet med x₀ = 1.

1. Differentier: f′(x) = 3x² − 2.
2. Hældningen: f′(1) = 3 − 2 = 1.
3. Punktet: f(1) = 1 − 2 = −1.
4. Indsæt: y = 1 · (x − 1) + (−1).

Facit: y = x − 2.

Typiske fejl

• (x³)′ er 3x², ikke 3x³ – eksponenten bliver én mindre.
• Sætter x₀ ind i f(x), men glemmer at sætte den ind i f′(x).

Læs også: Tretrinsreglen og produktreglen.

Se videoen