Eksponentielle funktioner – vækst med en fast procent

En eksponentiel funktion har forskriften f(x) = b · aˣ. Den beskriver noget, der vokser (eller aftager) med den samme procent hver gang x vokser med 1 – fx renter, befolkningstal og radioaktivt henfald.

Hvad betyder a og b?

• b: startværdien, altså f(0).
• a: fremskrivningsfaktoren. a = 1 + r, hvor r er vækstraten. 3 % vækst giver a = 1,03, og 5 % fald giver a = 0,95.

Formler

a = (y₂ / y₁)^{1/(x₂ − x₁)}

Fordoblingstid: T₂ = ln(2) / ln(a)

Eksempel

Du sætter 5000 kr. i banken til 3 % i rente om året.

1. Forskriften: f(x) = 5000 · 1,03ˣ, hvor x er antal år.
2. Efter 10 år: f(10) = 5000 · 1,03¹⁰ ≈ 6719,58 kr.
3. Fordoblingstid: T₂ = ln(2) / ln(1,03) ≈ 23,4 år.

Typiske fejl

• Skriver a = 0,03 i stedet for a = 1,03.
• Lægger procenten til hvert år, som om væksten var lineær.

Se videoen