Differentialligninger – y′ = k · y og løsningen y = c · eᵏˣ

En differentialligning er en ligning, hvor den ubekendte er en funktion, og hvor funktionens afledte indgår. Den vigtigste type er y′ = k · y, som beskriver eksponentiel vækst.

Løsningsformlen

y′ = k · y har løsningerne y = c · eᵏˣ

Konstanten c bestemmes ud fra et kendt punkt på grafen, fx y(0).

Eksempel

Løs y′ = 0,05 · y med y(0) = 200.

1. Den fuldstændige løsning: y = c · e^0,05x.
2. Indsæt punktet: 200 = c · e⁰ = c, så c = 200.
3. Den partikulære løsning: y = 200 · e^0,05x.
4. Fx er y(10) = 200 · e^0,5 ≈ 329,7.

Prøve: y′ = 200 · 0,05 · e^0,05x = 0,05 · y ✓

Typiske fejl

• Glemmer at bestemme c, så løsningen ikke går gennem det givne punkt.
• Gør ikke prøve. Indsæt altid y og y′ i ligningen og se, at den passer.

Se videoen